形内自相似六边形蜂窝轴向吸能结构拓扑优化

成 明，何 彬，郭 媛

(1.武汉科技大学 机械自动化学院，湖北 武汉 430081；2.湖北理工学院 机电工程学院，湖北 黄石 435003)

蜂窝结构因具有轻质、高比强度刚度以及良好的吸能等特性，被广泛用于航天航空、高速火车和汽车行业等工程领域[1]，吸引了众多学者对其机械性能和吸能特性进行探索。何彬[2]通过建立多约束拓扑优化模型，得到了满足不同性能要求的蜂窝夹层结构创新构型。此外，其研究的一种新型组合蜂窝结构，具有轴向承载能力强的特点[3]。Paz[4]对蜂窝结构进行了尺寸和形状优化，增加了比吸能，降低了碰撞峰值力。曹立波[5]运用拓扑优化方法对汽车前纵梁进行耐撞性设计，确定了诱导结构的尺寸和位置，使前纵梁的耐撞性能有一定的提高。

理想的吸能结构不仅要能大量吸收碰撞过程所产生的冲击能量，还要能将碰撞过程中的冲击力降低至允许区间以内[6]。多孔结构内部具有大量孔洞，碰撞时孔洞坍塌吸收能量，是一种优良的耐撞结构，其拓扑构型设计方法和力学性能成为研究热点[7]。多层级的蜂窝结构轴向强度和刚度较高，承载能力过大，易出现峰值碰撞力，在面对低速冲击时，压缩变形较小，能量吸收不充分。对蜂窝结构进行拓扑优化，可以在保证其力学性能前提下，减少材料用量，削弱抗冲击刚性，增加塑性变形。目前，关于蜂窝结构的拓扑优化研究较为罕见。为了进一步探索蜂窝结构的吸能承载性，本文提出对形内自相似蜂窝结构进行拓扑优化，在保证强度和刚度条件下(保证一定的承载性能)实现轻量化，并对其承载吸能特性进行研究。

1 三维形内自相似蜂窝结构多约束拓扑优化模型

自相似层级蜂窝是由常规正六边形蜂窝通过自相似面分形设计的方式衍生而得。使用16个边长为L1/4的小正六边形围绕传统蜂窝结构胞元的中心点排列成对称结构，形成二维自相似面内分形蜂窝结构；类似地，使用16个边长为L2/4的小正六边形围绕二级蜂窝结构胞元的中心点排列成对称结构，形成三维自相似面内分形蜂窝结构；重复上述，可以得到更高层级的多维蜂窝结构[8]。形内自相似六边形蜂窝结构如图1所示。

图1 形内自相似六边形蜂窝结构

拓扑优化是在相应的设计区域内，根据给定的约束，求解材料的最优分布问题，确定结构内材料的相互连接方式、结构内孔洞的分布和尺寸等拓扑形式，以满足特定的力学性能[9]。在蜂窝结构的拓扑优化设计中，变密度法是目前使用最普遍的一种拓扑优化方法，通过单元删减来寻求材料最优分布问题[10]。

在基于变密度法的拓扑优化设计中，优化模型通常是以应变能最小为优化目标，以体积作为单一的约束变量。蜂窝结构不仅要实现整体轻量化，还须具备较强的承载能力，所以要考虑强度和刚度要求。因此，有必要建立多约束拓扑优化模型，在保证应力、位移、体积等约束要求的条件下，能获得理想的优化结果。三维形内自相似蜂窝结构多约束拓扑优化模型为：

(1)

式(1)中，X=[x1,x2,…，xn]为设计变量；n为单元个数；C(X)为结构的总应变能；K为结构整体刚度；U为结构整体位移列阵；ki为第i个单元刚度列矢量；ui为第i个单元节点位移列矢量；V(X)为结构总体积；vi为单元体积；V为蜂窝结构设计域的初始体积[11]；ξ为优化体积比；xi为单元伪密度，在0～1之间取值；δ为消除奇异的单元密度最小极限值，一般取0.000 1；σmax(x1)为单元的最大应力值；σ为许用应力值；γmax(x1)为单元最大位移；γ为允许的最大位移量；F为节点等效载荷向量。

2 形内自相似六边形蜂窝结构拓扑优化的实现过程

使用Hypermesh14.0软件对三维形内自相似六边形蜂窝结构进行拓扑优化，基体材料采用铝合金2024，其材料参数分别为：弹性模量Es=69 GPa，密度ρs=2.7×103kg/m3，泊松比Vs=0.33。建立蜂窝有限元模型，蜂窝面外上表面均布载荷(每个节点施加100 N的载荷)，下表面全约束。形内自相似六边形蜂窝有限元模型如图2所示。

图2 形内自相似六边形蜂窝有限元模型

2.1 优化说明

按照所建立的多约束拓扑优化模型，在OptiStruct优化模块中分别对目标函数、体积约束、应力、位移约束进行设置。

拓扑优化的任务目标是在相对体积约束为0.6的条件下，使设计区域的应变能最小化,最大位移约束小于等于0.05 mm，最大应力约束小于等于195 MPa。最大应力保证强度要求，最大位移体现刚度的要求。为了减少拓扑结构中的小孔洞，避免出现拓扑结构灰度问题，同时设置尺寸工艺约束，最小成员尺寸为4 mm，最大成员尺寸为8 mm。棋盘格控制参数设置为1，离散控制参数设置为3。

2.2 拓扑优化结果

提交拓扑优化任务，经过39次设计循环后，优化过程趋于收敛，拓扑优化后的蜂窝结构模型和收敛过程如图3所示。由图3可知，拓扑优化完成后，蜂窝结构的整体应变能达到最小值4 740.32 MJ，而床身的体积则减少到原来的59%,最大应力为195.6 MPa，最大位移为0.05 mm。

从最终优化结果看，由于单元的删减，蜂窝胞壁上形成了比较有规律的孔洞，在三维胞壁上形成近似圆形孔，在二维胞壁上材料大部分被挖除，形成近似方形孔(可以近似忽略)，分形维数有一定程度的变化。尽管蜂窝结构的整体刚度相比优化前有所削弱，但优化后的蜂窝结构仍然能够满足设计要求。同时，由于拓扑优化剔除材料所形成的孔洞形状参差不齐，不符合可制造性的原则，因此必须对拓扑优化后的蜂窝结构进行再设计。

(a) 第39次拓扑优化结果

(b) 应变能与体积迭代曲线

2.3 蜂窝结构的再设计

在拓扑优化后蜂窝模型的基础上进行二次设计，对于再设计过程中孔洞形状的确定，应优先满足制造工艺性，方形孔和圆形孔是最常用的形状[9]。形内自相似六边形蜂窝结构再设计如图4所示。在二维胞壁上挖相同的方形孔，在三维胞壁上挖相同的圆形孔，圆形孔直径为3 mm，方形孔长为8 mm，宽为6 mm。

图4 形内自相似六边形蜂窝结构再设计

3 形内自相似蜂窝结构冲击性能

3.1 形内自相似六边形蜂窝冲击模型构建

在Abaqus6.14中构建冲击模型，分别构建优化后胞壁开孔类蜂窝结构、未经优化的形内自相似六边形蜂窝结构的冲击模型，其最大胞元边长为72 mm，轴向高度为30 mm。蜂窝采用壳单元建模，厚度为0.1 mm，材料采用铝合金2024，试件的底端固定在钢板上，左右两侧自由，刚性冲击板以一定速度沿Y轴方向进行冲击，顶端钢板赋予惯性质量6.0 kg，与蜂窝结构之间的摩擦系数为0.1，采用通用接触。胞壁开孔蜂窝冲击模型如图5所示。

图5 胞壁开孔蜂窝冲击模型

3.2 耐撞性指标

为了合理评价轻质蜂窝结构在轴向冲击下的抗冲击吸能性能，引入耐撞性指标[12]。

1)体积比吸能EV。体积比吸能为单位体积蜂窝材料吸收的能量，EV=E/V，其中，V为蜂窝铝块的体积。

2)压缩位移S。蜂窝吸能结构通过碰撞压缩变形来吸收能量。

3)峰值碰撞力PCF。峰值碰撞力是蜂窝在外载压溃前期碰撞力的最大值，其值越小，对吸能部件的稳定变形损害越小。

当冲击时间为0.001 s，冲击速度为20 m/s时，胞壁开孔类蜂窝结构基本被压溃，最大变形量为14.79 mm。未优化的蜂窝结构被压溃程度小于胞壁开孔类蜂窝结构，其最大变形量为12.06 mm。形内自相似六边形蜂窝与胞壁开孔类蜂窝在冲击速度V=20 m/s时的变形如图6所示。

(a) t=0.00018 s

(b) t=0.001 s

形内自相似六边形蜂窝与胞壁开孔类蜂窝的压缩载荷曲线和能量吸收曲线如图7所示。由图7(a)可知，未优化的自相似蜂窝结构出现了应力峰值，且出现峰值后进入平稳期。胞壁开孔类蜂窝结构没有出现明显的峰值，载荷相对平稳，这是因为胞壁开孔，蜂窝结构刚度减弱，轴向塑性变形增强。

由图7(b)可知，在t=0.00018 s之前，胞壁开孔蜂窝结构塑性变形明显、压缩量大，内能变化稍微大于未优化的自相似的蜂窝结构。未优化蜂窝结构总吸能要大于胞壁开孔类蜂窝结构。

(a) 压缩载荷

(b) 能量吸收

2种蜂窝结构体积比吸能对比结果见表1。由表1可知，在2种蜂窝结构整体尺寸、冲击模式基本一样的情况下，未优化自相似蜂窝结构吸收总能量和体积比吸能均大于胞壁开孔类蜂窝。可见，优化后的形内自相似蜂窝结构开孔设计降低了比吸能。

表1 2种蜂窝结构体积比吸能对比结果

综上所述，未优化的形内自相似蜂窝结构轴向承载性强，但易出现应力峰值。胞壁开孔类蜂窝结构碰撞力峰值和平均碰撞力较小，压缩变形较为明显。蜂窝结构由于孔洞的生成，削弱了蜂窝轴向冲击刚性，使蜂窝结构在轴向发生更好的变形，面对低速冲击能吸收更多的能量，吸能特性较好。

4 结论

1)蜂窝结构拓扑优化得到的蜂窝胞壁开孔类蜂窝结构降低了比吸能，可实现较大幅度减重，同时能够满足刚度和强度性能要求，是力学综合性能比较好的蜂窝构型，有一定的应用价值。

2)胞壁开孔削弱了蜂窝的整体刚性，降低了初始峰值应力，能量吸收特性较好。与未优化的蜂窝结构相比，优化后胞壁开孔蜂窝结构在满足一定承载性能的同时在轴向具有较好的吸能承载特性。