“乘”的想法始于哪儿

郜舒竹

【摘   要】小学数学课程内容中通常把“乘”的初步认识定位于“加”。事实上，从想法上说，“乘”的认识是先于“加”的，而且二者有本质的差异。“乘”的想法主要体现为“单位化”的眼光以及运算过程中的“单位转换”。这样的想法在“数数”和“记数”时，就已经出现了。

【关键词】乘;乘法;运算;计算;单位;单位化;单位转换

小学数学课程内容中，“乘”作为一种运算，其初步认识通常安排在二年级，学生已经学习了“加”的运算后。把“乘”视为“相同加数求和”，也就是“重复加（Repeated Addition）”的过程，目的是使加的过程简化。比如对于“2+2+2”，写为乘的算式就是“2[×]3”或“3[×]2”。在小学数学课程与教学中，普遍认识为：

l乘的初步认识是以加为基础的;

l乘的本质是加;

l乘是加的简便运算。

事实上，“乘”与“加”这两种运算存在很大差异。“乘”的想法并非源于“加”，更不仅仅是加的简便运算。“乘”的想法在“数数（音：shǔ shù）”的过程中就已经出现了，而且这样的想法是先于“加”的。

一、“重复加”的窘境

美国哈佛大学数学教授吉斯·德芙林（Keith Devlin）于2008年在社交网站发文，强烈反对小学数学课程与教学中将“乘”定义为重复加，呼吁“停止重复加的说法”[1]。德芙林作为数学研究者，当然深知“乘”在数学中的意义。数学课程内容中，这样的意义是一个不断进化和演变的过程。

即便是低龄儿童，对于乘法的初步认识，“乘”与“加”的想法也是存在很大差异的。这里所说的“想法（Idea）”不同于通常所说的“算法”和“算理”，算法强调的是“操作（Manipulation）”和“程序（Procedure）”，学习方式是“模仿+练习”，追求熟练，进而达到“又对又快”。“算理”是算法正确可行的理由或依据，这样的理由或依据追求的是逻辑上的正确，而不是学生认知过程中的意义生成。想法强调“意义生成（Sense Making）”，追求的是“理解（Understanding）”。

“乘”作为运算，其意义在小学数学课程内容中，呈现出不断“进化（Evolution）”的动态特征。如果在小学中、低年级对乘运算形成的认识是“重复加”，那么到高年级学习诸如“0.2[×]0.3”或“[12×23]”小数和分数的运算，就会出现认知困难，这时的“乘”，已经失去了“加”的意义。

数学课程与教学的一个基本原理是“系统性（Coherence）”，类似于数学理论发展的“继承性（Permanence）”[2]。在课程或理论体系中，同一内容的意义可以在原有基础上“拓展（Extend）”，但不应“自相矛盾（Self Contradiction）”。对“乘”的认识，起初为“是加法”，而后又成为“非加法”，这样的是非混淆自然违背了课程与教学的系统性原理。

因此需要研究并挖掘“乘”这一运算相对稳定和一致的意义究竟是什么，这样的意义应当能够贯穿数学课程与内容的始终。在此基础上，就可以知道“乘”的认知起点究竟在哪儿。为此，先来探讨“乘”与“加”，在想法上的差异。

二、“增加”的两种眼光

人在日常活动中会无意识地使用加或乘的运算，自然数范围内二者都有“增加”的意义，比如：

l一瓶矿泉水2元，买3瓶，自然而然地使用乘法运算“二三得六”，使2元增加为6元，即“2元[×]3=6元”。

l如果今天是星期四，无须思索就会使用加法运算，想到再过两天即后天就是星期六，在星期四基础上增加2天，成为星期六，即“4+2=6”。

也有一些情境，如果看待“增加”的眼光不同，就会使用不同的运算，进而得到不同的结论。比如：假定有A、B两种植物，A植物2米高，B植物4米高。若干年后，二者都增高4米，A植物高度变为6米，B植物高度变为8米。

如果把“生长”看作一个过程，这个过程应当包括三个要素：原有高度、增加高度和当前高度。三者的关系是“原有高度+增加高度=当前高度”。

从“增加高度”看，两种植物是相同的，都是在原有基础上增加了4米，从而使得A植物高度变为6米，B植物高度变为8米。用算式表达为：

A植物：2米+4米=6米

B植物：4米+4米=8米

如果此时关注两种植物生长的快慢，也就是对“生长速度”进行比较，用不同的眼光，就会出现不同的答案。

用“加”的眼光看，增长后当前高度是“原有”和“增加”高度的和。对于增长速度，如果只考虑“增加”的“米”数，不考虑原有高度，那么在相同时间内，两种植物“增加”的“米”数相同，可以说两种植物，在这段时间内增长的快慢是一样的，也就是增长速度是相同的。

另外一种是用“乘”的眼光，对于增长速度是看“相对于原有高度，增加的幅度”，将增加高度和当前高度的参照标准定位于原有高度，也就是将“单位一”视为“原有高度”，这个“单位一”对于A植物来说是2米，对于B植物来说是4米，二者是不同的。

A植物原有高度是2米，增长了4米，相当于原有高度又重复出现了“2次”，使得增长后的总高度6米包含了“3次”原有高度，或者说增长后的总高度包含了“3个”原有高度。这里出现的“次”和“个”，指向的單位不再是“1米”，而是“原有高度”。

所谓“乘”的眼光，首先是如何看待“1”，也就是“单位”。前面所说的“3次”或“3个”，可以统称为“3倍”。A植物增加了原有高度的2倍，增长后的高度是原有高度的3倍。B植物同样增长了4米，用原有高度4米作为单位一衡量，增长后高度8米是原有高度4米的2倍，都是将“原有高度”视为“单位”，两种植物的“单位”是不相同的。

在相同时间内，A植物高度增长为原来的3倍，即“原有高度[×]3”，也可以写为“3原有高度”。B植物高度增长为原来的2倍，即“原有高度[×]2”，写为“2原有高度”。因此用乘的眼光看，可以认为A植物相对于原有高度，比B植物相对于原有高度，增加的幅度更大，因此A植物比B植物增长速度快。

两种眼光，得到生长速度“既相同又不同”的判断。从形式逻辑的视角看，如果“相同”为真，那么“不同”为假;如果“不同”为真，那么“相同”为假。“相同”与“不同”作为相互对立的两个判断，不可能同真，也即不可能同时正确。为什么会出现这样违背逻辑的悖论？

原因就在于推理的大前提不同，由于看待“单位”的眼光不同，比较的对象发生了变化。如果说两种植物增长的高度相同，都是4米，前提是将“1米”视为单位，比较的对象是“增加的米数”，两种植物增加的米数都是4米，自然相同。

如果把“原有高度”视为“单位”，比较的对象是“相对于原有高度增加的幅度”，两种植物就不同了。A植物原有高度是2米，增长高度为4米，这时增加的幅度就成为“2个原有高度”，即“2个2米”。B植物原有高度是4米，增长高度也是4米，增加幅度就成为“1个原有高度”，也就是“1个4米”。正是因为看待单位的眼光变了，也就使得比较对象改变了，因而就出现了相悖的两个结论。因此可以说，“乘”的想法始于看待“单位”的眼光的改变。

三、“乘”与单位转换

综上可以归纳出“加”与“乘”意义上的差异。“加”是保持单位不变的运算，而“乘”是使得单位改变的运算。以A植物为例，用“加”的眼光看，其生长过程为：

l原有高度（2米）+增加高度（4米）=当前高度（6米）

算式中两个加数以及运算结果对应的单位都是“米”。原有高度和增加高度两个加数可以分别看待，是一种互不影响的并列关系，也可以看作是相互分离的两个局部构成一个整体的关系，通常用连接词“和”表达二者的关系。

如果用“乘”的眼光看，A植物生长过程可以用算式表示为：

l原有高度（2米）[×]3=当前高度（6米）

这个算式中的因数“3”的单位不是“米”，而且是不能独立存在的，与另外一个因数“原有高度”不是并列的关系，而是用“个”表达的包含关系，或用“的”表达的修饰或从属关系。比如“3个2米”，其中的“3个”是修饰“2米”的，也可以说“2米的3倍”，其中的“2米”从属于“3倍”。

因此乘法算式中参与运算的两个因数，是相互依赖与制约的关系。如果把“乘”运算看作“操作（Operation）”，那么两个因数各自的角色就分别是“被操作者”和“操作者”，也叫作“被动者（Operant）”和“动者（Operator）”。历史上，为了区分乘法运算中的两个因数角色的不同，分别称它们为“被乘数（Multiplicand）”和“乘数（Multiplier）”。

“原有高度（2米）[×]3=当前高度（6米）”中的因数“3”，对应的“1”是前面的因数“2米”，脱离开前面的因数，这个“3”就没有意义，相当于“用3作用于2米”，因此“2米”是被乘数，“3”是作用于2米的乘数。乘的运算，就是将原有高度2米这个单位，改变成为6米。这里的6米，既可以看作“6个1米”，也可以看作“1个6米”，但无论如何已经失去了“3个2米”的意义。因此，乘在我国历史上被认为是“以数生数”的运算[3]，可以理解为将“2个3米”改变为“6个1米”或“1个6米”。

欧洲算术历史中，像“2米”这样表达具体量的数，也叫作“具体数（Concrete Number）”，如果把“2米”视为“单位一”，那么“3个2米”中的“3”就叫作“抽象数（Abstract Number）”。把具体数对应的单位叫作“原始单位（Primary Unit）”，抽象数对应的单位叫作“衍生单位（Derived Unit）”[4]。按照这样的说法，“乘”运算，其实就是将衍生单位改变为原始单位的过程。

用这样单位转换的眼光看，任何一个具体数，也就是以原始单位为单位的数，都可以用多种眼光看待。比如12个苹果，如果以“苹果”为单位是12，表示其中蕴含着12次“1个苹果”;如果以“12个苹果”为衍生单位，就是1，表示含有1次“12个苹果”。如果以“2个苹果”为衍生单位，12个苹果就是6，表示含有6次“2个苹果”。这样的关系都可以用乘法算式表达：

l1苹果[×]12=12苹果

l12苹果[×]1=12苹果

l2蘋果[×]6=12苹果

单位转换的想法，在认知科学中叫作“意象图式转换（Image Schema Transformation）”，具体说就是“一”与“多”的相互转换，可以简称为“一多转换（Multiplex-Mass）”[5]。人类活动中，这样的思维方式十分普遍。比如12个苹果放满纸箱，这时眼中的“12个苹果”就转换为“1箱苹果”。再比如，远看很多头牛，视觉中的“多”在头脑中自然会成为“一”，也就是头脑中出现“一群牛”的意象。

这样“一多转换”的思维方式其实是人的一种“认知能力（Cognitive Capacity）”，叫作“单位化（Unitizing）”。这种能力在数学认知过程中广泛应用。比如时间单位中的“2时等于120分”，同样的时间段，用“分”做单位，对应的数是120。用“时”做单位，就转变为“2”，其原因就在于将“60分”看作“单位”，命名为“1时”。“时”是从“分”这个原始单位衍生而来的衍生单位。同样道理，长度单位中将“100厘米”视为“单位”，命名为“1米”，“米”就成为相对于原始单位“厘米”的衍生单位。“乘”作为运算的一个重要意义，就是实现这样的单位转换。

四、“乘”的想法先于“加”

如果把“单位化”以及“单位转换”视为“乘”最初的想法，这样的想法并非始于加法运算，在“数数（Count）”和“记数（Numerals）”过程中已经出现。低龄儿童最初接触的运算就是“数数（Count）”。以数苹果为例：

如果从左向右看，数数的过程实际是给每个苹果依次命名的过程：第一、第二、第三……每一个名称对应1个苹果。到最后数到“第六”，对应的是最右侧的1个苹果。