解决高考三视图中一类问题的新方法

吴丰田

[摘要]文章的方法来源于“牟合方盖”形成的过程，先通过一个视角，固定几何体的大致范围，这样可以简化几何体中的点、线的数量，排除了三视图中的“干扰视线”，使图形变得更简洁，起点更低;再依次结合其他两个三视图，即可确定几何体中所有的顶点，从而可以简捷地解决高考中三视图还原几何体的问题。

[关键词]高考三视图;三视图还原几何体;新方法

三视图是近几年来高考的热点，也是培养学生直观想象核心素养的重要载体。高考试题对三视图的考查主要包含以下题型：判断几何体的三视图、由三视图还原几何体并计算。张国治等[1]给出了由几何体的三视图还原几何体的一种通法，傅香平”[2]提供了三视图还原实物图的新视角。以上两种方法，有效地弥补了学生直观想象能力的不足。本文对一类三视图还原几何体问题给出了新的方法。

三视图的规律：正（主）视图和俯视图的长相等;正（主）视图和侧（左）视图的高相等;侧（左）视图和俯视图的宽相等，即——“长对正，宽相等，高平齐”。

本文中方法涉及题型为三视图中含有三角形的，若三视图中没有三角形，或者图形复杂的则可以用上文提到的两种方法求解。

步骤如下：

（1）由三视图中三角形所在视图入手，画出一个直三棱柱;

（2）由三视图中另两个视图确定几何体的顶点;

（3）连接幾何体的顶点，去掉辅助线，对比三视图进行验证。

下面通过两个例题加以说明。

1.角度一：从侧视图的三角形入手

（3）连接几何体的顶点，即可将三视图还原为几何体（图1-4）。

波利亚在《怎样解题》中指出：考虑解答的各个细节，并尽可能使它们显得简单;考虑解答中比较冗长的部分并尽可能使它们简短些;试着一眼就能看出整个解答;对你的解答中或大或小的部分进行改进，尝试改进你的整个解答，使它直观[3]。张国治根据三视图的概念和投影规律，先由“三等”关系画出正方体或长方体，再由逆投影作垂线段，利用“六向对应”关系及三视图中虚实线的交点，确定逆投影点，然后再利用垂线段交点和三视图中的虚实线段排除“可疑点”确定“最优点”，最后将“最优点”逐一连线得到还原后的几何体。该方法在实际操作过程中由于步骤多，“干扰视点”“干扰视线”多，构图复杂，由于学生的空间想象能力发展不充分，导致在处理复杂问题时耗时且易错。本文所述新方法正是对此方法的改进与简化，相较而言学生入手思维起点更低，步骤更加简洁，作图更直观，图中“干扰视点…干扰视线”明显减少，从而降低了思考难度。

例2：将如图所示的三视图还原为几何体[2]。

1.角度一：从正视图的三角形入手

步骤如下：

解析：（1）该几何体的三视图中正视图为三角形，故由此可以作出如图2-1所示直三棱柱ABC-A₁B₁C₁;

（2）由侧视图可以确定棱CC₁，的中点D为该几何体的顶点，并可以排除点C，C₁，再结合俯视图可以确定A₁，B，B₁，A₁为该几何体的上的点;

（3）连接几何体的顶点，即可得到原几何体（图2-2）。

2.角度二：从侧视图的三角形入手

解析：（1）题中三视图的侧视图为三角形，由此可以作出一个直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，如图2-3所示;

（2）由正视图可以确定C₁在该几何体上，并排除点C，由俯视图可以确定A，A₁，B₁，B为几何体的顶点;

（3）连接几何体的顶点，如图2-4所示即该几何体的直观图。

本题也可以从俯视图的三角形入手，此处不再赘述。

解决高考中的三视图问题，关键在于还原几何体，在解题过程中必须要熟悉基本几何体（柱体、锥体、台体）的三视图。但三视图问题往往虚实结合，灵活多变，对空间想象能力有较高要求，很多考生感到无从下手，毫无方向。本文的方法来源于“牟合方盖”形成的过程：先通过一个视角，固定几何体的大致范围，这样可以简化几何体中的点、线的数量，排除了三视图中的“干扰视线”，使图形变得更简洁，起点更低，再依次结合其他两个三视图，即可确定几何体中所有的顶点，从而得到几何体。本文所述方法，虽然表达简洁，容易操作，但仍存在局限性，还需业内再多加探讨。

[参考文献]

[1]张国治，程似锦，席光煜，等.三视图还原几何体的一种高效通法[J].数学教学，2016（06）：6-19.

[2]傅香平三视图还原实物图的新视角[J].数学教学，2014（04）：27-29.

[3]波利亚.怎样解题[M].上海：上海科技教育出版社，2011：29