一类竞争的病菌传染模型在一定条件下的稳定性研究

◎左晓虹

（三门峡职业技术学院公共教学部，河南三门峡472000）

2020 年新型冠状病毒肺炎疫情发生以来，中国政府采取积极的防控策略和措施，经过两个多月的不懈努力，有效控制了新发病例的增长，本地传播已经完全控制，但全球疫情却不容乐观，本次新冠病毒肺炎疫情暴发让笔者再次深刻体会到传染病的巨大威力，所体现出来的人与人、人与动物、动物与动物之间的关系及其疾病关系是立体的也是复杂的，黄永鹏教授强调要正视人与动物共病关系防范恶性疫病传播，他指出人与动物交错生活在一个共病的体系中，多数疾病人与动物的致病概率是一样的。世界卫生组织根据近年的统计资料提出，在已知的能感染人的病原中有一半以上能在人与动物之间互相传染。近30 年来新发现的传染病达40 余种，几乎每年都有一两种新发传染病。新发现的或重新出现的传染病中80%是人与动物共患病[1]。

1 研究现状及模型的建立

用数学建模思想描述传染病在不同种群之间的关系，并用数学方法进行研究，用具体数字刻画传染病传染规律，使得不同种群、相同种群之间的传染得到合理的解释和控制，用数学方法研究传染病的规律，实现对传染病的预防与控制，比如通过对新冠肺炎疫情全球大流行现状分析[2]，对新冠肺炎COVID-19 疫情传染机理和统计数据研究，拟合疫情变化趋势图,建立有控制的SIR 传染模型[3]，为科学有效的传染病疫情防控提供参考。为此笔者在文献4 的基础上进一步研究了一类竞争的病菌传染模型

探讨当τ，σ 充分小时模型正平衡态的稳定性，得出具体结论并带入具体数据进行验证。

文献4 是以Lotka 和Volterra 提出的Lotka-Volterra 模型[5]为基础建立了一类竞争的生态模型[4]。

（α,β,γ 均为实数，且 α＞0,β＞0,γ≥0,δ≥0,θ为正奇数）

并进行了初步探讨，各参数的生态意义分别为：α 表示种群乙被带有病菌的种群甲感染病菌的比率，β 表示种群甲被带有病菌的种群乙感染病菌的比率，γ 表示种群甲的康复率，δ 表示种群乙的康复率，αm（t-τ）表示种群甲的抗病菌率，βh（t-σ）表示种群乙的抗病菌率，θ 为外界对种群的干扰参数。

模型（1.2）满足如下初始条件：

其中 τ1=max ｛τ, ｝σ ，Φi（i=1,2）非负且在[-τ1，0]上连续有界，h(o)=Φ1(0)＞0，m(o)=Φ2(0)＞0.

在文献4 的基础上笔者就一类竞争的病菌传染模型（1.2）讨论其当T，σ 充分小时模型正平衡态稳定性，给模型(1.2)各参数赋值，并运用Matlab 绘出相应的数值解图形，对所得结论进行了验证。

2 当τ，σ 充分小时模型正平衡态稳定性

设 h（t）=X（t）+h*，m（t）=Y（t）+m*，则模型（1.2）有线性近似系统为：

假设模型（1.2）中 τ=σ 且充分小，即 α=β，

γ=δ，则在很小的一个时间间隔里[t-b,t]，有

代入系统（1.2），则系统（1.2）的近似系统为：

整理可得

则当 α＞γ，且 ασ＞1 时，系统（2.5）有虚根.

综上讨论便有如下结论：

定理 对于模型

（1）当 α＞γ 且 ασ＜1 时，其平衡态（h*，m*）为中心且稳定；

（2）当 α＞γ 且 ασ＞1 时，其平衡态为鞍点且不稳定.

3 实例分析

对于系统

的正平衡态，现由定理1 则可以得出（3.1）的如下结论：

（1）若取τ=σ=0.5，此时该模型的正平衡态是稳定的（如图3-1）。

（2）若取τ=σ=2.5，此时该模型的正平衡态是渐进稳定的（如图3-2）。

（3）若取]τ=σ=4，此时该模型的正平衡态是不稳定的（如图3-3）。

运用Matlab 绘出相应的数值解图形，由图形再次验证定理1 的正确性.

图1 τ=σ=0.5 时的曲线拟合图

图2 τ=σ=2.5 时的曲线拟合图

图3 τ=σ=4 时的曲线拟合图