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挖掘数学之“源”,还原文化之“元”
——“脚印的面积有多大”教学实践与思考

2020-10-12斯瑶

教学月刊(小学版) 2020年26期
关键词:脚印面积图形

□斯瑶

【案例背景】

人教版五年级上册将“测量不规则图形的面积”编排于“多边形的面积”单元之后,以测量树叶的面积为例,引导学生通过数格子、看成近似的规则图形,估算其面积。然而在教学中笔者发现,这两种方法对学生而言并非难事。那么如何挖掘本节课的内在价值?综观教材知识结构,多边形面积→不规则图形面积→圆面积,是否可以以数学文化的视角,以数学史料为载体,以数学思想为核心,建立知识间的有效衔接?基于这样的思考,笔者设计了《脚印的面积有多大》一课,拟定了新的教学目标。

【案例展开】

(一)情境导入,任务驱动

情境引入:在柯南和朋友们的一次聚会中发生了失窃事件,雪地里留下了案犯清晰的脚印,根据脚印你可以知道什么?和你们想的一样,生活中公安人员在刑侦调查的过程中就是依据脚印的大小、深度等等来推断罪犯的体型。今天我们就来探究脚印的大小。

(二)小组合作,掌握估算方法

出示实际大小的脚印纸片。

1.提出问题:你能否精确测量出脚印的面积?有困难,为什么?

2.那就请大家先估一估大概有多大。

3.交流方法:怎样才能更精确地测量脚印的面积?

预设1:数格子(数格子课件演示,不提供方格纸)。

预设2:分成学过的图形。

预设3:补成一个长方形,再去掉空白部分。

4.小组合作计算脚印面积,将计算结果写在黑板上。

5.方法反馈。

(1)为什么你们要分割成这些图形?

(2)为什么要分成那么多个图形?

(3)求不规则图形可以用数格子、割、补的方法解决,它们有什么共同点?

6.小结:要想计算不规则图形的面积,我们可以利用化曲为直的方法,将不规则图形转化为规则图形。

(三)逐次逼近,体会极限思想

1.比较小组计算结果与脚印实际面积,哪个小组更精确?原因何在?

2.电脑软件是通过什么方法算得那么精确的呢?

师:我们就取脚印边缘的一小格来研究(如图1)。假设我们一直细分下去,长方形越来越窄,个数越来越多,齿轮状越来越接近这条曲线,那么这些小长方形的面积总和也就逐步逼近这个不规则图形的面积。电脑软件就是通过化曲为直、逐步逼近的方式计算出脚印的面积的。

3.课件演示化曲为直、逐步逼近,完善割、补的方法(如图2)。

图2

4.小结:分的份数越多,弯曲的边线就越接近线段,面积就越精确。掌握了这种方法,我们就能尽可能精确地计算出任何不规则图形的面积。

(四)沟通联系,感悟数学文化

1.提问:你会用逐步逼近的办法求圆的面积吗?想一想,画一画,折一折,不计算。

2.学生方法反馈。

生:我将圆形的边变成直线后,分割成了9个三角形(如图3)。

生:可以将圆分成更多个三角形(如图4)。

有学生窃窃私语:那不得算死?

生:只要算一个三角形就可以了。将这个圆对折4次后,就有16个完全相同的三角形(如图5)。

生:她先将圆补成了正方形,再将多余的部分分割成了许多个三角形,用正方形的面积减去这些三角形的面积就是圆形的面积(如图6)。

图3

图4

图5

图6

3.介绍刘徽的割圆术。

这与我国古代伟大的数学家刘徽的割圆术是一样的。他将圆化曲为直变成正十二边形、正二十四边形,一直到正3072边形,正多边形的边数越多,就越接近圆的周长,正多边形的面积也逐次逼近圆的面积。

小结:正因为这一重大研究成果,让圆逐渐从一个不规则图形向规则图形演变。等到我们六年级的时候,就可以利用公式来求圆的周长和面积了。

【模型建构】

本案例以张维忠教授基于数学文化建构的教学模式为原型,依据教学实践,进行了改进,形成了“以史为线”,以数学知识发生发展过程为载体的教学模式。

首先,基于教材,选择源于生活的素材,任务驱动,展开问题研究;其次,自主选择合适的知识技能、数学方法,进行数学化理解;最后,教师从数学文化的视角,帮助学生建立“数学史料”与“数学知识”“数学思想”间的联系,再现数学知识形成发展的基本过程。

【案例反思】

(一)挖掘数学文化素材——基于教材,源于生活

1.挖掘数学文化“源”。

数学文化“源”的概念是马岷兴教授所提出的,即含有丰富数学文化成分的数学事实,可以是一个数学概念、法则、定理,也可以是数学故事、问题等等。由于课时限制,一线教师很难将数学文化作为独立的课程体系,因而“教材”就成了挖掘数学文化“源”的第一手资料,需要我们思考如何将书本上的数学文化“源”与教学有机结合。

在《测量不规则图形的面积》一课中,探究对象从树叶变成脚印,本质未发生改变,但赋予了新的情境,任务驱动,从而引发学生更多的探究欲望与思维联想。

2.探索数学文化“元”。

数学文化“元”,即组成数学文化的基本要素或最小单位。教师一方面需要用数学文化的视角,重新审视烂熟于心的知识点,探寻有助于数学文化教育的成分,合理有效利用并整合教材;另一方面要积极探索课外资源,用数学的眼光结合生活、科学、艺术等,异中辨同,体会数学的本质是一种深刻的人类文化,进而理解数学的内涵,丰富数学课程资源。

案例中,将《测量不规则图形的面积》一课的教学目标,拓展到更精确地测量不规则图形面积,与割圆术、微积分相联系,渗透“转化思想”与“极限思想”。“转化思想”“极限思想”就成了本节课的数学文化“元”。

(二)经历数学化理解——端本正源,知一万毕

1.过程中学,逐步抽象。

数学理解是指运用表达数学概念、关系、问题、方法、思想的数学语言,传递信息、情感与观念的过程。其对象可以是现实的客观事物,也可以是数学本身。为了让学生感受到数学是一种深刻的人类文化,教师需要重视学生数学化的体验过程。

在尽可能精确测量脚印面积的过程中,学生逐步体会到只要将不规则图形转化成规则图形,就能求出不规则图形的面积,并能初步感知,分成的图形数量越多,就越接近原面积。这一过程正是帮助学生对具体情境问题、数学知识逐步抽象的过程。

2.还原数学之本真。

张奠宙先生说过:“数学教学的有效性,关键在于对数学本质的把握、揭示和体验。”教学中通过核心问题,引领学生深度思考,直指数学本质。

本课每一个教学环节都直指一个问题——“怎样才能尽可能精确?”最终,教师取脚印边缘的一小格,分成若干个矩形进行说明,展现化曲为直、无限分割的极限思想。事实上这也正是“微积分”的雏形,学生似乎也不难接受。

数学文化不仅仅是数学史料的讲授,数学化的理解过程,丰富的数学思想、数学精神才更具有魅力。

(三)文化链接——以史为鉴,可知兴替

1.以史为线,追溯知识的“前世今生”。

数学知识的形成和发展经历了漫长的发展过程。就数学教育而言,个体对数学知识的理解过程应遵循数学知识的发生发展过程,即数学教育应遵循历史发生原理。小学生的数学学习没有必要经历数学家这样的探索过程,但在实施教学时,沟通数学文化与知识间的联系,帮助学生再现数学知识形成发展的基本过程,才能实现属于学生自主感知的数学化理解。

在学生初步认识了“化曲为直,逐步逼近”的数学方法后,教师提出问题:你会用逐步逼近的办法求圆的面积吗?学生的想法事实上与古代伟大的数学家刘徽“割圆术”的思想方法相同。不同的是,也许刘徽经历了无数个日日夜夜,而我们的学生却在一堂课上,与刘徽有了一段相似的经历。与其说以史为鉴,可以知兴替,不如说以史为线,可知数学的前世今生。

2.瞻前顾后,建立知识的前后联系。

以史为线,可知数学的前世今生;以史为线,又可将知识连点成线,建立知识的前后联系。学生由对不规则面积的探究到对圆形面积的探究过程,是对极限思想的进一步理解。以此为契机,建立规则图形—不规则图形—圆形之间的联系,为六年级圆面积的学习奠定基础。

这就再次引发我们思考:数学文化融入数学课堂不仅仅是文化与知识的融合,也是知识与知识的融合。教师应重新审视教材,重塑、整合、梳理教材,建立知识的前后联系。

除了数学史可以贯通文化与知识、知识与知识间的联系,数学思想方法、数学名题、数学名人故事,同样可以有异曲同工的妙用。

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