考虑加工公差的叶片对压气机气动性能的影响

庄皓琬，滕金芳，朱铭敏，羌晓青

(上海交通大学 航空航天学院，上海 200240)

在轴流压气机叶片的实际加工过程中，同一叶片在其不同叶高截面处会同时发生不同类型的几何偏差，这种多维度的几何变化会对压气机的气动性能产生较大影响.为了研究叶片在不同叶高位置的加工公差对压气机气动性能的影响，并在压气机气动性能和加工成本之间寻求良好的平衡，需要在叶片不同叶高截面处将多个加工公差类型进行随机组合造型，并通过计算流体力学(CFD)数值模拟方法进行气动性能的量化分析.

由于叶片不同截面叶型的安装角、位置(包括轴向和周向)和形状轮廓等在加工中都会产生偏差，并且偏差的大小和分布均具有高度随机性，开展试验研究或采用抽样建模的数值模拟方法将导致工作量大、成本高等问题.所以，通常采用抽取少量样本和减少公差种类的方法研究带有单一公差类型的叶片，如研究安装角[1-5]、轮廓度[6-7]和位置度[8]等对压气机气动性能的影响.但是，实际压气机叶片加工偏差的大小和发生位置均具有高度随机性，以上研究无法满足三维叶片实际加工公差对压气机气动性能影响的评定要求.因此，基于不确定性量化法[9]的多种类加工公差影响研究逐渐得到发展，该研究采用三维测量方法获得包括多种公差的真实叶片几何参数的概率密度分布[10-11].在此基础上，Lange等[10]基于蒙特卡洛法进行几何误差与性能间影响的统计处理；Schnell等[12]采用主元分析法(PCA)将样本叶片的几何误差分解为多个模式，并采取蒙特卡洛法进行抽样模拟.此外，非嵌入式多项式混沌法[13-15]和伴随矩阵法[16-17]也可以用来研究由叶片几何概率密度分布的不确定性所引起的压气机气动性能的变化.

综上所述，研究压气机叶片多种类加工公差对气动性能的影响一般采用测量大量叶片的方法，得到实际叶片的三维实体，进而开展不确定性量化分析.针对一种新设计的压气机转子叶片，基于实际加工误差概率分布特点和航空工业标准，在叶片不同叶高截面处构建叶型多种类加工公差的几何模型，以模拟实际叶片；量化多维度加工公差对压气机气动性能的影响程度；分析几何误差影响效率变化的原因，为压气机叶片的工程设计和加工制造提供指导.

1 几何模型和数值模拟方法

1.1 几何模型

选取轴流压气机的单级转子、静子叶片作为研究对象，其设计点压比、等熵绝热效率和进口轮毂比分别为1.24、93.4%和0.913.其中，多维度公差叶片建模只针对转子叶片，原型转子叶片平均半径截面的弦长为25 mm，展弦比和稠度分别为1.71和1.23.针对该原型的理想转子叶片，根据工程中对实际叶片加工公差选取的指导原则，前期已经开展了叶片轴、周向位置度、扭转度和轮廓度单一公差类型对气动性能影响的研究[18].叶片各类几何公差定义如图1所示，其中Z、Y、γ、C和P分别为截面叶型的轴向位置度、周向位置度、扭转度、弦长和轮廓度.

图1 叶片几何公差示意图Fig.1 Diagrams of blade geometric tolerances

基于原型理想转子叶片，构建多种类加工公差的真实叶片几何模型，具体流程主要包括选取叶片控制截面、获取截面控制点、控制点坐标变换和带公差的叶片拟合等步骤.首先，选取转子叶片控制截面为垂直于叶片径向的15%、50%和85%叶高截面.然后，根据前后缘加密的原则，通过叶片造型软件得到每个剖面叶型的控制点坐标.针对原型叶片的截面控制点坐标，采用几何变换法在各控制截面处先后加入扭转度、位置度和轮廓度公差，得到带几何公差叶片的截面控制点坐标.基于得到的截面控制点坐标，通过三次样条插值得到各控制截面吸力面和压力面的型线插值方程.最后，利用造型软件放样拟合得到带公差叶片的吸力面和压力面.该方法采用编程手段可以实现三维带公差叶片的自动化批量生成，节省时间且人力成本低，实现了大量气动性能数值模拟在不确定性量化分析中的应用.

1.2 数值模拟方法

采用NUMECA商用软件进行三维数值模拟.其中，采用AutoGrid模块进行几何建模和网格建立等前处理，数值求解器采用FINE/Turbo模块对压气机进行设计点工况的定常计算，得出压气机的质量流量、总压比、等熵效率、轴向推力和转矩共5个气动性能结果，并采用CFView后处理模块进行流场分析.数值计算采用Spalart-Allmaras(SA)湍流模型，空间离散采用中心差分格式，时间推进采用四阶Runge-Kutta法加速迭代求解.进口边界条件给定总温、总压和气流角分布，出口边界条件按径向平衡方程给定平均静压，动静交界面采用一维无反射边界条件.计算网格采用O4H型的拓扑结构，以保证网格的正交性；近壁面网格厚度设置为5×10-6m，以保证第一层网格的近壁面无量纲距离y+值小于10，与所选湍流模型匹配.由于研究对象相同，所以网格方案的验证参见文献[18].

为了确保带公差叶片与原型理想叶片的计算结果之差仅受叶片几何的影响，后续所有叶片样本均采用与上述数值方法和网格方案完全相同的参数设置，网格总数均为185万，以避免因计算设置不同导致的计算误差.采用NUMECA软件支持的Python脚本实现不同叶片模型的网格划分和计算设置的自动化，以进行不确定性量化和敏感性分析.

2 数据分析方法

2.1 不确定性量化法

基于蒙特卡洛法，分3步对叶片几何误差的性能影响进行不确定性量化分析：① 基于高斯分布规律[19]构造叶片几何误差的概率分布；② 从已知概率分布中抽样，得到多维度误差值样本并进行气动性能模拟计算；③ 通过统计方法对得到的气动性能参数进行统计量计算和分布拟合.误差值分布满足概率密度分布函数：

(1)

式中：μ为高斯分布的期望，各误差取值均为0；σ为高斯分布的标准差，几何误差的σ值根据加工公差确定.根据《叶片叶型的标注、公差与叶身表面粗糙度》标准[20]，确定位置度、扭转度、轮廓度误差分布的标准差分别为0.5 mm、0.5° 和0.05 mm.

确定误差概率分布后，利用拉丁超立方抽样法在3个截面和4种误差组成的12个误差维度空间中抽取N个误差样本，将每个误差因子按概率等分为N个区间，在每个区间中各随机抽取一个误差值，随后将各维度误差值随机组合，得到N个12维误差样本.该抽样方法保证各概率范围内的因子在N个样本点中只被研究一次，从而有效控制了低概率样本出现的频次，保证在抽样数量较少时获得更准确的结果，计算成本低.

经CFD数值模拟得到样本性能参数后，选取结果均值(μx)和样本标准差(sx)作为不确定性量化指标，得到叶片几何误差对气动性能参数的总体影响.

式中：xi为样本性能参数计算值；N为样本总数.

性能参数的分布拟合以样本的似然函数值为指标.连续型概率分布的函数值计算方法为

(4)

式中：L(θ)为似然函数值；θ为概率密度分布函数中的未知参数；fθ(xi)为概率密度函数值.通过求解偏导数方程可以得到使L(θ)达到极值时的θ值，并将其对应的概率分布作为性能参数分布的拟合结果.

2.2 敏感性分析法

在多维度叶片几何公差综合影响下，进行压气机级性能敏感性分析.以斯皮尔曼相关系数为判断准则，比较各类几何误差与各性能参数间的相关性，并以此判断影响性能参数的决定性因素.任意两参数x′与y′的斯皮尔曼相关系数定义如下：

(5)

斯皮尔曼相关系数是取值范围为[-1,1]的无量纲数，用于衡量两个参数间线性关系的强弱，其绝对值越大，则两者线性关系越强.且当ρ>0时，x′与y′呈正相关；当ρ<0时，x′与y′呈负相关；当ρ=0时，x′与y′不相关.

3 结果与分析

采用拉丁超立方法抽取200个误差样本进行误差叶片几何建模.计算得到各样本的气动性能结果，并进行不确定性量化和敏感性分析，得到转子叶片各截面几何误差对压气机级各气动性能参数的影响.

3.1 不确定性量化分析

表1 各气动性能参数的相对误差分布Tab.1 Relative errors of different aerodynamic performance parameters %

为了消除正、负抵消的影响并衡量几何误差带来的压气机级性能平均偏差，需要对各性能参数的相对标准差进行分析.质量流量、轴向推力和转矩的相对误差分布范围较大，且转矩最大，其σr=1.13%，表明转子叶片的几何误差可以令叶片的部分性能参数出现相对显著的变化.而总压比和等熵效率的各数据分布范围均较小，两者的σr值均约为原型性能参数的0.1%.综上可知：转子叶片几何误差对压气机级的质量流量、轴向推力和转矩的总体影响更明显.

针对误差叶片模型样本数值计算得到气动性能参数，以式(4)所示的似然函数为指标，对气动性能参数进行连续概率密度分布拟合.根据性能参数在均值附近分布较多、极值附近分布较少的特点，以及概率密度函数的实用性对拟合分布的类型进行初步筛选，确定高斯分布、极值分布、广义极值分布、逻辑分布和韦伯分布共5类.利用偏微分方程的数值求解法得到各分布的似然函数极值及其对应参数，并从中优选得到函数取最大值时的对应参数.

表2为各性能参数在各类拟合分布下的似然函数最大值(L(θ)max).其中，qmr、pr和ηr分别为相对质量流量、相对总压比和相对等熵效率.针对不同类型的拟合分布，以L(θ)max作为拟合优度的评判依据，L(θ)max越大则拟合优度越好.图2为各性能参数拟合优度最佳的两类拟合分布概率密度函数曲线及其对应参数.其中，φ为概率分布密度.在质量流量的最优分布中，虽然5种分布类型的差值低于1%，但是考虑以L(θ)max作为拟合优度评判依据，最终选择广义极值分布和正态分布作为质量流量的最优拟合分布.

表2 各拟合分布似然函数最大值Tab.2 Maximum likelihood function values of different fitting distributions

图2 各性能参数最优拟合分布及其参数Fig.2 Optimal fitting distributions and parameters of different performance parameters

由表2和图2可知，转子叶片在多维度几何误差的综合作用下，压气机级质量流量、总压比和等熵效率的最优拟合均为广义极值分布，质量流量和等熵效率的次优拟合为正态分布，总压比的次优拟合为韦伯分布.

3.2 敏感性分析

利用式(5)计算得到压气机性能参数与转子叶片几何误差的斯皮尔曼相关系数，并以此衡量压气机级性能对各类叶片几何误差的敏感性强弱.按照设计工况下各参数间敏感性指标值由大到小进行排序，得到如图3所示的相关系数图，并以此建立转子叶片几何误差与压气机级性能参数之间的关联性.其中，ΔZ、ΔY、Δγ和ΔP分别对应图1(a)～(d)中的加工公差类型，下标t、m、b分别代表叶片的上、中、下横截面，分别对应85%、50%和15%叶高截面.

图3 加工公差与气动性能参数的关联性Fig.3 Correlation between manufacturing tolerances and aerodynamic performance parameters

由图3(a)和(b)可知，转子叶片各几何误差对质量流量和总压比的影响几乎相同.除上、中截面轮廓度和中、下截面轴向位置与质量流量和总压比呈正相关外，其他8个几何误差参数与以上两性能参数均呈负相关.其中，各截面扭转度与两性能参数的负相关关系最明显，均有ρ<-0.3，其对质量流量和总压比的影响起主导作用.以上结论进一步说明了在多维度几何误差综合作用下，质量流量和总压比变化的正相关关系，并明确了该关系是由于各几何误差对两者的影响相近而产生的.

由图3(c)可知，各几何误差参数中，转子叶片的中、下截面轴向位置与等熵效率呈明显的正相关，均有ρ>0.3.而中截面扭转度和下截面周向位置则与等熵效率呈明显的负相关，均有ρ<-0.4.以上四种几何误差参数对等熵效率的影响程度相近，其中，中截面扭转度和下截面周向位置对等熵效率的影响起更主导的作用.此外，中截面周向位置和轮廓度与等熵效率的 |ρ| 均在0.01左右，与其他误差类型相比可以忽略，说明这两种几何误差参数与等熵效率的变化基本不相关.

3.3 典型流场分析

为了进一步验证统计规律并探究叶片加工误差对压气机流场的影响，选取两个典型带几何误差的叶片案例进行流场分析，并与原型叶片进行比较，如图4所示.

图4 两个典型带误差转子叶片与原型叶片对比Fig.4 Comparison of two typical blades with errors and original blade

分别在案例1和2叶片的根、中、尖截面处加入几何偏差，具体值如表3所示.案例1和2的等熵效率较原型的相对误差分别为+0.31%和-0.46%，分别对应表1中所有算例等熵效率的最大值和最小值；其质量流量较原型的相对误差分别为+1.09%和-1.02%；其总压比较原型的相对误差分别为+0.20% 和-0.21%.

由表3可知，案例1叶片的中、根截面均有较大的轴向正向位移，其叶中截面还具有较大的负向扭转，而案例2则相反.此外，两案例的3种几何偏差量均属于3.2节中与压气机级等熵效率相关性最大的4类几何误差，进一步说明了利用斯皮尔曼相关系数进行敏感性分析的可靠性.

表3 两个典型带误差叶片的几何偏差Tab.3 Geometric deviations of two typical blades with errors

为了探究不同叶片截面上各类误差的综合作用影响等熵效率的原因，对转子叶片出口截面周向平均后的相对总压损失系数径向分布进行分析，如图5所示.案例1在径向相对位置小于20%和大于70%范围内的总压损失系数较原型有所降低，在叶尖和叶根相对总压损失系数最大处较原型分别降低了0.71%和1.48%，说明案例1中各几何误差变化的综合作用有利于减小叶尖和叶根处的掺混损失.而案例2中叶尖和叶根的相对总压损失系数最大处较原型分别增加0.77%和0.76%，说明在叶片几何误差变化的综合作用下，案例2的叶尖和叶根损失增加，造成转子叶片等熵效率降低.

图5 相对总压损失系数径向分布Fig.5 Radial distribution of relative total pressure loss coefficient

为了进一步探究叶片几何误差变化对相对总压损失的影响机理，对转子叶片出口截面的熵云图分布进行分析，如图6所示.

图6 转子出口截面熵分布Fig.6 Entropy distributions of rotor outlet

由图6可知，由于叶根、叶中截面存在轴向位移以及叶中截面扭转等叶片几何误差变化的影响，转子叶片出口截面的熵增区域形状较原型有较大不同，由于中、下截面存在较大轴向位置度的正向偏移且中截面存在负向扭转，所以案例1中转子叶片出口截面的熵增区域在周向上的影响范围减小，说明叶片的几何误差变化使得出口流场产生相应改变，有利于扩大均匀流动范围、降低掺混损失.而案例2中的转子叶片几何误差变化使得出口截面的熵增区域扭曲加剧，流场恶化，流动的掺混损失增加.

4 结论

针对轴流压气机的一级转子叶片几何公差对气动性能参数的影响展开研究.基于蒙特卡洛和拉丁超立方法进行误差叶片抽样，在叶片不同叶高实现多种类几何加工公差的三维建模，并对所得的200个误差样本进行CFD数值模拟计算，对计算结果进行不确定性量化和敏感性分析.最后选出效率最高和最低的两个典型叶片几何误差案例，研究其对出口流场的影响.具体结论如下：

(1) 全部误差叶片样本的质量流量、总压比、等熵效率、轴向推力和转矩等气动性能的平均值与原型叶片的相对误差均小于0.1%，所有转子叶片样本的几何公差对压气机级的平均性能影响不大；而质量流量、轴向推力和转矩的相对误差分布范围较大，性能参数的相对误差最大范围为-2.90%～2.30%.因此，应在叶片的设计与使用中重点关注以上性能参数的变化.

(2) 在位置度、扭转度和轮廓度的叶片几何误差中，压气机级各气动参数对叶片扭转度的敏感性最强.此外，等熵效率除受叶中截面扭转度影响较大外，还与叶中截面的轴向位置以和叶根截面的轴、周向位置度呈明显相关性.因此，在实际加工中，应严格控制叶片的扭转度制造公差以及叶中、叶根截面位置度的公差选取.

(3) 在叶片位置度、扭转度和轮廓度公差范围内的几何误差的综合作用下，案例1和2的等熵效率较原型的相对误差分别为+0.31%和-0.46%.两案例明显改变了转子叶片出口截面的相对总压损失径向分布和通道出口熵云图分布，进而影响了叶片通道内气流的流通和增压能力，使得案例1和2较原型的质量流量相对误差分别为+1.09%和-1.02%，总压比相对误差分别为+0.20%和-0.21%.