一般三角形射影定理及其应用

李秀元

(湖北省武穴市实验高级中学 435400)

一、一般三角形射影定理简介

在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则a=bcosC+ccosB，b=ccosA+acosC，c=acosB+bcosA.这是人教社课标A版实验教科书必修5《解三角形》的一道练习题，教材本意是要求学生利用余弦定理来证明这组公式，但实际上，它的证明方法可以更简单，作三角形一边上的高，将边长分割成两段，利用直角三角形中锐角的三角函数定义(相当于斜边的射影)，直接得到结论.由于证明方法相当于对两边作一边上的射影，故名射影定理，也称第一余弦定理，公式适用于所有三角形.

二、一般三角形射影定理的分类应用举例

解三角形一般直接应用正余弦两大定理和三角恒等变换公式，但有些试题转化起来略显麻烦.而教材例习题及其结论是可以作为高考试题的直接运用，这为一般三角形射影定理的应用带来便利.下面结合高考试题和教材习题，举例说明应用射影定理带来的好处，供大家学习参考.

1.射影定理在求角中的应用

例1 △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知a=bcosC+csinB.

(1)求B； (2)若b=2，求△ABC面积的最小值.

说明一般地，对于象a=bcosC+csinB这样的边角关系式，我们总是应用正余弦定理及三角恒等变换公式进行化简，最终得到问题的解.题目几乎没有难度，但有时感觉还是有点繁、费时，毕竟高考是需要抢时间的，一般问题快速求解才能给复杂问题预留时间.合理利用射影定理就能实现抢时目标.所列试题，如果有两问，我们只关注第1问的解法，第2问略过，下同.

例2 设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为( ).

A.锐角三角形 B.直角三角形

C.钝角三角形 D.不确定

解 方法1对bcosC+ccosB=asinA应用正弦定理，可以得到sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA=sin2A，从而sinA=1，故三角形△ABC为直角三角形.

方法2提取公因式sinB后，由射影定理，得

射影定理在化简与求值中的应用

解 方法1基于正弦定理和三角恒等变换公式,

去分母，得sinBcosA-2sinBcosC=2sinCcosB-sinAcosB.

方法2基于射影定理，

整理，得bcosA+acosB=2ccosB+2bcosC，即c=2a.

(2)求tan(A-B)的最大值.

3.射影定理在证明中的应用

例7 在△ABC中，求证：c(acosB-bcosA)=a2-b2.

解 方法1 由余弦定理可得

说明前者套用余弦定理的公式，后者进行了整体代换.

方法2由射影定理，得

c(acosB-bcosA)=(acosB+bcosA)(acosB-bcosA)

=a2cos2B-b2cos2A

=a2(1-sin2B)-b2(1-sin2A)=(a2-b2)+(b2sin2A-a2sin2B)

根据正弦定理，上式后者为0，故c(acosB-bcosA)=a2-b2.

证明 方法1 应用余弦定理化角为边

方法2应用正弦定理化边为角

方法3应用射影定理