转化思想在三角函数中的奇妙应用

周艳群

【摘要】三角函数是基本初等函数的一种，这部分内容在高考当中的出题量很大，占的分值很多，并且这些题难度较低，分数比较好拿，所以这部分分数是我们的学生必须要拿到的。因而，三角函数在高考中的地位非常重要。如果转化思想运用得好，那么就能非常灵活地、奇妙地解决这部分内容的题目，为高考数学争分。

【关键词】转化思想;角度的转化;名称的转化;次数的转化

三角函数是高中数学必修4第一章和第三章的内容，在每年的高考中属于必考内容，并且属于容易题。所以三角函数是每一位高中生在数學领域里必须掌握好的章节。基于三角函数如此重要的地位，我们教师必须以一种行之有效的教学方法传授给学生，让他们能够理解并运用。转化思想方法就是解决这部分题目的一种行之有效的方法之一。什么是转化思想呢？转化也称化归，是数学中最常用的思想，应用最广泛的思想。转化与化归是指在解决问题时，采用某种手段将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，将未解决问题化归为已解决问题，将陌生问题转化为熟悉问题，将未知化为已知，将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决，等等。三角函数这一章在解题的时候，基本上第一步就是进行三角恒等变换，比如，要求三角函数的值域，就得把函数化简到只有一个函数名称，一个角度的形式。再如要求三角函数的周期，就得把函数化简到只有一个函数名称，一个角度，次数为1次的形式。诸如这些变形就得应用到转化和化归思想。下面笔者以教材中的题目和高考题来看看转化思想在三角函数中的应用。

一、角度的转化

三角函数的求值，化简和证明题中常常会遇到一个式子里面有几个角度，或者已知条件里面的角度和要求的三角函数值的角度不同的问题。面对这个问题，怎么解决呢？首先观察各角之间的和、差、倍、半关系、减少角的个数、化异角为同角。接下来经常会有两种方法，一是利用方程组进行求解，二是将角度进行转化，用两角和差公式或二倍角公式进行求解。下面我们就以两个题为例，看看角度转化在解题中的应用。

此题涉及到的知识点是三角函数的图象变换，这类问题一般先将两个不同名称的三角函数化为同名的三角函数，再根据三角函数的图像的平移，伸缩变换进行求解。

三、次数的转化

次数的变化的题目最常见于三角函数图像与性质的题目。尤其是要求函数的最小正周期，大多数情况下都要把函数的次数化简到一次的。常用方式是升次和将次，主要公式为二倍角的余弦公式以及其逆用。如，从左边到右边是升次。再变形为，这样一来从左边变到右边就是将次。

前面我们从三种题型中阐述了转化思想的是如何应用的，以及转化思想的奇妙之处，所以转化思想在三角函数这一章当中应用的作用非常强大。所以三角函数这一个知识点如果能把转化思想进行灵活运用，那么高考当中这部分的题目就迎刃而解了。