在变式探究中突破数学思维定势

杨珍珍

【摘要】通过对2018年高考全国I卷文科第21题及其变式的研究，启发学生独立思考，引领学生运用类比、联想、特殊化、一般化、数形结合等的数学研究方法探索、提出并解决新的问题。数学压轴题的变式过程可以让学生突破定势思维，学会举一反三、融会贯通，体验数学压轴题中“变与不变”的美;有利于培养学生的探究和创新意识，提高学生的数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养。

【关键词】数形结合;定势思维;创新意识;核心素养

数学学科核心素养是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的。变式探究有利于突破定势思维，培养学生积极思考、主动探索与解决问题的能力，以便让学生把握数学内容的本质，从而不断提高学生的综合素养。下面笔者以2018年高考全国I卷文科第21题和2019年高考预测题为例，对解法及其变式进行探究，希望对高三学子有所裨益。

2.问题分析

导数是研究函数的主要工具，它主要用来讨论函数（特别是复杂函数）的单调性，进而解决求函数的最值、极值等的问题。导数问题（尤其是含参的导数问题），作为高考的压轴题，难度大、变化多且对高考考生的要求高，这就需要我们灵活变通，勤思多想，找到一种以不变应万变的方法。本文主要采用变式探究的研究方法，提高学生解题的融会贯通能力，以期突破学生的数学定势思维，让学生在“数学化”“再创造”的过程中体验数学压轴题“变与不变”的美，进而提升数学素养。

3.解法研究

数学的压轴题是通过利用数学知识、数学思想和数学方法建立条件与结论之间的发展过程，从而形成不同的审题思路和切入点，得到不同的解题思路。本题属于高考压轴题的常规题型，第一问思路清晰，方法固定，通过求导再利用极值点处的导数值为零，来求出参数的值，进而求函数的单调性;第二问的基本考点是函数的恒成立问题，通过放缩利用函数的单调性进行讨论研究。

第（1）问属于函数与导数问题的常规题型，不过在计算过程中发现很多学生混淆了零点和极值点的概念，于是，把极值点换成零点就可以成为该题的一道变式，学生们可以下去自己完成。

在证明这道题第（2）问时，很多学生在解答过程中充分性和必要性发生了混淆，出现了条件和结论颠倒证明的情况，除了引导学生正确理解充分性和必要性以外，还应鼓励学生多思考，充分性得到证明能不能再思考一下必要性该如何证明;进一步充要条件能否得到证明呢？我们秉承着“题不在于多，而在于精”，“万变不离其宗”的原则，引导学生多思多悟，针对本题第（2）问，我们给出以下几种变式。

于是，该题的必要性得到了证明，结合上述的证明我们不难得到充要条件也是成立的，学生们自己下去完成充要条件的证明。我们想想可不可以对该例题的题目进行一下变式呢？在老师的鼓励和引导下，学生给出了如下的变式。

通过该变式，我们发现解法与变式一类似，这只是一种形式的变化，其本质是不变的，因此，可以把上述两个变式划为一类。我们再思考一下，还能不能做出更进一步的变式呢？比如，加个其它条件，学生努力思考，大胆探索，给出如下的变式：

在这几个变式中，我们都是给出了a的范围来求函数的恒成立问题，那我们思考一下，能不能把给出a的一个具体值，来求一些很成立问题呢？学生突破思维定势，大胆思考，尝试做出如下的变式：

通过以上的变式，我们发现解题思路大同小异，变中有不变，是有规律可循的，经过努力，突破数学的压轴题也不是完全没有可能的。善于思考与总结反思，就会发现数学中的美，接下来我们再进行拓展变式加强巩固。

二、题目拓展及变式

1.题目（选自2019届高考质量预测卷）

2. 解法研究

本题属于高考常规题型，通过利用函数极值点的定义把该问题转化成一个方程有两解的问题，进一步转化成两个函数有两交点的问题，再利用数形结合的思想进行画图，通过观察分析图形进而得到答案。

3.解答

本题思路清晰，难度适宜，那么，我们能不能对这个题目进行一下改编，或者假想自己作为出题人，我们再怎么提高难度，才能不偏不怪，并且难倒一部分人，从而做到有的放矢呢？最好把基本知识技能都考查在内，学生勇于思考，敢于创新，得到了以下的几种变式：

以上四种变式表面看各不相同，但是本质都是一样的，利用的解法和工具都是相同的，如果我们勇于探索、大胆创新，勇于突破定势思维，就会发现“数学原来可以如此美妙！”

三、教学思考

本文通过探究的眼光、发散的思维多方面地对高考中的数学压轴题及其变式进行了挖掘和研究，有助于提升学生对数学思想方法的理解，进而促进学生实践能力和创新意识的发展，增强学生透过现象看本质的能力，引领学生突破定势思维，让学生体验数学压轴题中“變与不变”的美，从而提升学生的素养。

参考文献：

[1]教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[2]王康垣.由一道高考题引发的思考[J].中学数学教学参考（上旬），2016（1/2）：60-61.