集合中的创新问题聚焦

何 炜 刘大鸣︵特级教师︶

以集合为背景的创新问题，常常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，以集合为依托，考查同学们解决问题的能力。常见的命题形式有新定义、新运算、新法则等，这类试题中集合只是基本的依托。

聚焦1：集合中的新定义问题

例1设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k-1∉A，且k+1∉A，那么称k是A的一个“孤立元”。给定集合S={1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有_____个。

解：依据k是A的一个“孤立元”，对于k∈A，k-1∉A，且k+1∉A，由给定S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”，这3个元素一定是连续的三个自然数。

故 这 样 的 集 合 为 {1 ，2，3}，{2 ，3，4}，{3 ，4，5}，{4 ，5，6} {5 ，6，7}，{6 ，7，8}，共6个。

反思：理解新定义的最好方法就是特值法和列举法。如本题S={6，7，8}不含“孤立元”，S={2，3，5}含“孤立元”5。若3个元素构成的集合不含“孤立元”，则这3 个元素一定是连续的三个自然数。

例2若集合A1，A2满足A1∪A2=A，则称(A1，A2)为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1=A2时，(A1，A2)与(A2，A1)是集合A的同一种分拆。若集合A有3 个元素，则集合A的不同分拆种数是____。

解：依据集合A的一种分拆的意义求解。设A={1，2，3}，一一列举确定分拆的种数。当A1=Ø 时，A2=A，此时只有1 种分拆。当A1是单元素集时，共有6种分拆，即{1}与{2，3}，{1}与{1，2，3}，{2}与{1，3}，{2}与{1，2，3}，{3}与{1，2}，{3}与{1，2，3}。当A1是双元素集时，共有12 种分拆，即{1，2}与{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}；{1，3}与{2}，{1，2}，{2，3}，{1，2，3}；{2，3}与{1}，{1，2}，{1，3}，{1，2，3}。当A1=A={1，2，3}时，则A2=Ø，{1}，{2}，{3}，{1，2}{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，共有8 种分拆。综上可知，共有的分拆种数是1+6+12+8=27。

反思：本题的集合分拆，类似于求集合的补集的方法，涉及集合子集的个数问题。解答本题的关键是列举集合时，不能重复和遗漏。

聚焦2：集合中的新运算问题

解：依据新定义的运算法则，弄清代表元素的属性，分别赋值列举出集合的元素。

故集合A= 1，2{ }。

反思：对于集合中的新运算问题，要按照一定的数学法则和运算规则，弄清代表元素的属性，再结合相关知识进行逻辑推理和计算，进而达到解决问题的目的。

例4对于集合A，定义一种运算“⊕”，使得集合A中的元素间满足条件：如果存在元素e∈A，使得对任意a∈A，都有e⊕a=a⊕e=a，则称元素e是集合A对运算“⊕”的单位元素。例如：A=R，运算“⊕”为普通乘法，存在1∈R，使得对任意a∈R，都有1×a=a×1=a，所以元素1是集合R 对普通乘法的单位元素。下面给出三个集合及相应的运算“⊕”：

①A=R，运算“⊕”为普通减法。

②A={X⊆M}(其中M是任意非空集合)，运算“⊕”为求两个集合的交集。

聚焦3：创新集合问题

例6设S是实数集R 的非空子集，如果∀a，b∈S，有a+b∈S，a-b∈S，则称S是一个“和谐集”。下面命题中的假命题是( )。

A.存在有限集S，S是一个“和谐集”

B.对任意无理数a，集合{x|x=ka，k∈Z}都是“和谐集”

C.若S1≠S2，且S1，S2均是“和谐集”，则S1∩S2≠Ø

D.对任意两个“和谐集”S1，S2，若S1≠R，S2≠R，则S1∪S2=R

解：依据“和谐集”的性质对选项逐一验证。对于A，如S={0}，显然该集合满足0+0=0∈S，0-0=0∈S，A 正确。对于B，设任意x1∈{x|x=ka，k∈Z}，x2∈{x|x=ka，k∈Z}，则存在k1∈Z，k2∈Z，使得x1=k1a，x2=k2a，x1+x2=(k1+k2)a∈{x|x=ka，k∈Z}，x1-x2=(k1-k2)a∈{x|x=ka，k∈Z}，因此对任意无理数a，集合{x|x=ka，k∈Z}都是“和谐集”，B 正确。对于C，依题意可知，当S1，S2均是“和谐集”时，若a∈S1，则a-a∈S1，即0∈S1，同理0∈S2，此 时S1∩S2≠Ø，C 正 确。对 于D，取S1={0}≠R，S2={x|x=k，k∈Z}≠R，易知集合S1，S2均是“和谐集”，此时S1∪S2≠R，D 不正确。应选D。

反思：解答这类问题的关键在于应用创新性质和其他相应的数学知识来推理验证。

例7若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：(1)X属于τ，空集Ø属于τ；(2)τ中任意多个元素的并集属于τ；(3)τ中任意多个元素的交集属于τ。则称τ是集合X上的一个拓扑。已知集合X={a，b，c}，下面给出的四个集合τ：①τ={Ø，{a}，{c}，{a，b，c}}；②τ={Ø，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；③τ={Ø，{a}，{a，b}，{a，c}}；④τ={Ø，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}。

其中是集合X上的一个拓扑的集合τ的所有序号是_____。

解：根据集合τ具有的三个性质逐个进行判断。对于①，τ={Ø，{a}，{c}，{a，b，c}}，但是{a}∪{c}=a，c{ }∉τ，所以①不是拓扑。③不是拓扑。②④可以逐一验证，都满足集合Χ上的一个拓扑的集合τ的三个性质。满足条件的序号为②④。

反思：求解本题需要准确理解集合Χ上的一个拓扑τ所具有的三个性质，需要准确把握集合包含的判断方法以及集合子集间的交、并、补集的关系，需要同学们认真分析题设条件，准确把握题中的所给信息。