深度思考 理解教材——以“函数的单调性”教学设计为例

杨红霞 张 慧

(江苏省南京市第十三中学，210008)

“函数的单调性”是高中函数重要的性质之一,它在函数的研究中有很重要的应用．形式化、符号化是数学的重要特征,要重视符号表示函数的单调性,也要重视符号语言描述的必要性,促进学生深度思考,理解教材,灵活应用知识．本文以“函数的单调性”一课教学为例，对此进行探讨.

一、教材分析

本节课内容是在学生掌握了初中的一次函数、二次函数和反比例函数的图象和性质,以及高中函数的概念的基础上进行的.它是函数研究中很重要的内容,既是对前面所学知识的进一步理解,又为后面研究其他特殊函数甚至一般函数提供理论依据和方法指导,起着承上启下的作用.

很多老师在处理这节课的时候,首先让学生回忆初中学过的一次函数、二次函数和反比例函数的性质,也即通过画图,观察图象特征,总结性质,然后让学生将“y随着x的增大而增大”和“y随着x的增大而减小”用符号语言描述,但忽略了用符号语言描述的必要性,导致学生在具体数学问题中由于对单调性的理解不到位而不能灵活应用.另外,在单调性的概念生成过程中,为什么是选取任意的两个数,要让学生理解到位,这也是本节课的难点所在.

二、教学过程

1.情境引入,理解符号刻画的必要性

师:观察天气变化图，如图1.某地某天的气温θ关于时间t的函数，记为θ=f(t).观察这个函数的图象，指出该地该天的气温变化的趋势.你能读出什么信息?

学生很快能得到从4时到14时,随着时间的增加气温逐渐升高.

问题1我们有没有学过哪个数学知识体现这一特征?

学生能回忆出初中学习了一次函数,二次函数和反比例函数的性质.

追问:初中是如何研究它们的这一特征的?

设计意图数学来源于生活,课题的引入从实际生活出发,通过问题1,让学生回忆出初中研究函数的性质,促进学生用数学的眼光观察世界和用数学的思维解决实际问题.通过追问引导学生回忆出初中研究问题的方法,函数的学习多数从函数的图象开始,为后面学习其它函数做好铺垫,如指、对数函数,幂函数,三角函数,它们的学习都是从研究图象开始,借助于图象研究性质,培养学生的直观想象能力.

经过讨论，发现这个函数图象不能严谨地画出,无法用学过的方法研究,这就需要探究另一种判断函数这一特征的方法.函数的表示有三种方法,列表法这儿肯定用不了,我们只能利用解析式,从代数角度“算”出这一特征.

设计意图若老师直接给出函数单调性的定义,学生可能会被动接受,但不理解为什么要研究它,也就是“知其然而不知其所以然”.在初学阶段可能会模仿例题解题,但过一段时间可能会遗忘,而且单纯的模仿也不利于学生发现问题、提出问题的能力的培养.

2.自主建构,体验符号刻画的合理性

我们首先要将这一特征用符号语言表示,并引导学生以二次函数y=x2为例,思考怎样用符号语言刻画“x>0时,y随着x的增大而增大”?

想一想：如何刻画“x的增大”?

这里意味着两个量比较,可表示为“x1

追问:这里的x1,x2有什么要求?

学生会意识到这两个量都大于0.

教师提醒学生体会“若x1,x2>0,当x1

经过讨论,学生体会出这个问题比较抽象,可以画图直观感受.通过画图发现取一组不行,取几组也不行,取无数组行不行?即“当x1

我们可以借用“任意”二字辅助说明,接下来自然就会产生这样的问题:“x1固定,x2任取”能否说明问题?学生依然可以画图举出反例.因此这里x1,x2都要任取,即任取x1,x2>0,当x1

单调性定义完成后,引导学生结合二次函数的例子进一步理解单调性是一个局部概念,在定义域上可能不具有单调性,当然有的函数没有单调区间.

设计意图《课程标准》指出,数学概念教学应该要揭示数学概念的形成过程,从思维角度来设计数学教学，是一种贴近学生思维“最近发展区”的自然有效的方式.数学的学习不仅要学好相应的数学知识,而且更重要的是要在学习过程中发展数学思维.学生在此处学习单调性是要理解“任意”二字,不仅仅是本节内容的重点,也为后面更好地研究函数的奇偶性,学习立体几何中线面平行和垂直作铺垫,同时发展学生的抽象思维能力.

3.问题解决，感受符号刻画的优越性

师:有了函数的单调性定义,刚才我们遗留的问题可以解决了吗?学生很快会想到可以作差比较大小.

思考:讨论下列函数的单调性:

经过学生讨论,大致有两种方法:

方法1画出函数的图象,根据图象观察函数的单调性;

方法2根据函数的解析式,在(1,+∞)上任取两个数,规定大小后,作差,变形,判断正负.

师:这两个方法都很好,但我们在具体处理时,要比较方法的优劣,遇到基本初等函数,我们熟悉它们的图象,就可以直接画图处理．但如果遇到解析式比较复杂,作图比较麻烦时,我们可以利用单调性的定义作差计算.

设计意图第(1)题是初等函数，可以直接利用图象判断函数的单调性,第(2)题需要应用定义算出单调性,进一步体会符号语言刻画单调性后解决问题的便利．另一方面，这两题让学生分别从“形”和“数”两个方面理解单调性,进一步体会数形结合的思想.

三、教学反思

1.深刻理解教材,重视概念形成过程

李邦河院士认为“数学根本上是玩概念,不是玩技巧的,技巧不足道也.” 数学概念是人脑对现实世界的数量关系和空间形式的本质特征的一种反映形式,即一种数学的思维形式.正确理解并灵活运用数学概念,是掌握数学基础知识和运算技能、发展逻辑论证和空间想象能力的前提.一节好的数学概念课,不能仅仅满足学生能在表面上理解概念.首先要重视概念的外延,即为什么要引入这个概念,也就是让学生明白引入的必要性,这样在遇到具体问题时才能灵活应用;其次,要引导学生自主构建概念,让学生体会概念的合理性,在这过程中蕴含了大量的数学思维,只有引导学生不断探索,形成概念,才能体验成功的快乐,从而能激发学习数学的乐趣;最后,在概念形成后要进行有针对性的练习,让学生体验概念在具体问题中的应用以及它自身的价值.除了解决本节课内容,还要为后面的学习提供依据.比如我们在利用函数研究零点问题时,往往要画出函数图象,对于复杂的函数可用代数的方法研究其性质画出图象.

2.关注思维训练,培养学生思考能力

学生最重要的学习能力是思考的能力,直接决定学生学习的水平和质量,经过思考的学习才是高效的,有意义的.联合国教科文组织国际教育发展委员会指出:“教师的职责已经是越来越少地传授知识,而是越来越多地激励思考.”因此，在课堂上我们要教会学生思考,在学习中要敢于提出问题,当然也包括分析问题,解决问题的能力.本节课在遇到函数无法画图研究单调性时自然就提出问题:我们需要研究一个新的能解决问题的方法,而不是直接把解决的方法告诉学生.再如对单调性的概念认真研究的学生自然还会提出这样的问题:为什么概念中的取值来自区间?其实，对于离散型的问题我们后面会在数列中专门研究.

3.精心设计问题,培养学生抽象能力

在理解单调性概念的过程中,需要经历从图形语言到自然语言,从自然语言到符号语言的转换过程,为理解量词作用奠定基础,也为如何严谨表达数学概念积累经验,是提升抽象能力的重要环节.本节课紧扣教学内容,从学生的实际情况出发,精心设计问题,有效解决实际问题,引导学生逐步抽象出数学概念,并深刻理解概念的内涵和外延.