Dupuit模型的改进——具入渗补给

陈崇希

(中国地质大学(武汉)环境地质研究所，湖北 武汉 430074)

1 研究背景

本文所述的Dupuit模型[1]是1863年最初提出的模型，即“圆岛状含水层稳定井流模型”[2]，而非“无界含水层中影响半径稳定井流模型”，即方程中的R是圆岛半径, 而非影响半径。后者的地下水流是不可能形成稳定状态的[2-3]。

经典的Dupuit潜水稳定井流模型(1863年)，只有侧向的圆岛外边界(湖海)及抽水井井壁内边界，而不涉及上边界降水入渗补给。如此一旦抽水，经过一定时间之后必导致海(湖)水入侵。然而自然条件大多存在大气降水的入渗补给，这样一来，Dupuit模型基本上只能在旱季用于地下水井流试验求取含水系统的参数，而不能够用于预测。人们往往企望截取大气降水补给地下水的开采模式，然而经典的Dupuit稳定井流模型却没有这个功能。就此而言，这是一个非常大的缺憾。

本文试图发展上述Dupuit圆岛状含水层稳定井流模型，即考虑地面入渗补给(蒸发排泄视为其负值)作用。如此，可用新建模型来预测相应条件的地下水开釆、排泄的效果。

所讨论的问题为稳定均匀入渗的条件，其它条件与Dupuit圆岛状潜水含水层井流模型相同。

2 解析模型的建立

2.1 假设条件及基本方程

(1)假设条件

图1 具入渗补给的圆岛潜水稳定井流模型Fig.1 Steady well flow model of phreatic water in Round Island with infiltration recharge a—ε=0条件下的Dupuit下降漏斗曲线；b—ε>0条件下的漏斗曲线

隔水底板水平的均质圆岛状潜水层,上边界具稳定均匀入渗补给，外边界是定水位条件，抽水井位于圆岛中心。此条件下，地下水为径向(轴对称)稳定流，以潜水层底面为基准靣，取柱坐标系统(图1)，且以井心隔水底面处为原点；由于地下水动力学井流中的流量通常定义抽水流量为正值，故记流速向井(原点)为正。

(2)基本方程

依水量守恒原理，假定渗流服从Darcy定律并满足Dupuit徦定，任一r断面的流量Q的计算公式为:

(1)

QR=Qw-πR2ε

(2)

式中：rw——井半径；

R——圆岛半径；

Qw——抽水井流量；

ε——入渗强度(单位时间单位面积入渗水量)。

若Dupuit假定成立，则任一断面流量Q为：

(3)

式中：K——渗透系数；

h——潜水位(等于潜水层厚度)。

2.2 流量方程及物理意义

(1)流量方程

将式(3)代入式(1)，得

积分后得

(4)

得

(5)

若取r=R≫rw，则h=h0，上式可改写为：

(6)

(2)物理意义

Qw由两部分组成：第一部分即无入渗补给条件的Dupuit流量方程，表示内外边界对Qw的贡献；另一部分表示入渗补给对Qw的贡献。

将式(6)代入式(2)，得外边界的流量为：

(7)

若QR>0，则外边界补给地下水(水位面如图1中的a曲线)；若QR=0，则外边界与地下水间互不补排；若QR<0，则外边界排泄地下水，这时存在地下水分水岭(水位线如图1中的b曲线所示)。

将式(6)代入式(1)，得任意断面的流量：

(8)

2.3 水位方程及地下水分水岭

(1)水位方程

由式(4)整理得

(9)

或将式(6)中Qw代入式(9)，得

(10)

这就是水位曲线方程。

由式(9)，若Qw=0且rw→0，则得未抽水时圆岛天然潜水位的分布：

(11)

当r=R时，h=h0，则有

(12)

此即未抽水时，位于圆岛中心处的最高潜水位。

将式(12)代入式(11)，得

(13)

(2)地下水分水岭

由于

(14)

其物理意义十分明确，抽水井的流量来自于地下水分水岭以内的入渗补给量。

定义抽水条件下地下水的分水岭位置为ra，其相应水位为ha。

由式(8)，在Q=0处，r=ra，有

(15)

在r=ra处，h=ha，由式(9)可得ha公式：

(16)

式(6)的Qw代入式(16)或者直接由式(10)可得由边界水位、含水层参数及入渗强度表示的潜水分水岭的水位：

(17)

3 解析方程的基本用途

3.1 求取含水层渗透系数K及入渗强度ε

(18)

事实上，将式(18)代入式(9)可得

(19)

由此，当r=r1、h=h1时，可以解得

(20)

3.2 计算不同条件下的水位及流量

若已知参数K及ε，给定Qw，则可利用式(6)计算hw；反之亦然。

若令Qw=πR2ε，则依式(6)计算的hw，是截取全部入渗补给量的抽水井中的水位。

3.3 有关Dupuit假定及应用新公式注意事项的初步讨论

在建立解析方程的过程中，假设满足Dupuit假定。引入Dupuit假定，对本问题解析研究可以降维(略去z变量)而使有关方程变得简单明了。然而实际上，在某些r断面上是会出现偏离Dupuit假定的，主要在地下水分水岭附近。这一点，Bear(1972年)[4]有过相关的讨论。即使没有入渗补给的原始Dupuit模型，如果潜水含水层厚度与圆岛半径之比较大, 且当抽水井水位降深与潜水含水层厚度之比较大时，在抽水井附近也会出现偏离Dupuit假定。已知非完整抽水井附近的三维流，向外逐渐转变为二维流(忽略z分量)，此径距r大约是含水层厚度的1.5倍[3]。借助这一研究成果，估计Dupuit假定(忽略z分量)不满足的地段，可能小于含水层厚度的1.5 倍。上述种种偏离Dupuit假定对解析结果影响的定量分析，还需要进一步研究。

认识到Dupuit假定在某些区段可能会有所偏离，那么在抽水试验求取含水层有关参数时，观测孔的部署要尽量回避这些区段。

4 结论及讨论

(1)对Dupuit圆岛稳定井流模型做了改进， 即考虑垂向入渗补给(蒸发示为其负值)作用，建立了新模型相关的流量方程及水位方程。当所建的新方程中的入渗强度ε取值为零时，其方程蜕变为经典的Dupuit方程。

(2)讨论了新的解析方程的基本用途。新模型可以用于求取含水层渗透系数K、入渗强度ε等参数。

(3)有关Dupuit假设对所建方程的影响做了初步讨论，对抽水试求取水文地质参数的观测孔部署也提出建议。

(4)至于新模型要求入渗是均匀稳定的，在应用中怎么考虑？这个问题是解析模型的一个普遍问题，不仅限于这个新模型。例如，经典的具有入渗的河间地区模型[3]，它的入渗也是均匀稳定的。然而在自然界，一般入渗是不均匀，不稳定的，应用中怎么办？至今没有见到讨论。实际上，当今已经广泛使用的数值模拟是可以用来研究此问题的，即做大量的不同尺度和不同参数的组合进行模拟研究，以此可以得出解析方程近似应用的条件。但此项研究是下个课题的任务。

地下水井流问题，这是当今地下水动力学理论和应用最主要的课题之一。从1863年的Dupuit稳定井流模型问世到今天的150多年里，发展了Theis 不稳定井流模型、越流系统井流模型、各类潜水井流模型、二元结构含水系统井流模型等，这么重要的井流问题，尚没见到一个已考虑自然界地下水系统不可或缺的入渗补给条件的。因此，作为初次研究有入渗补给的井流问题，我们是从Dupuit稳定井流模型，而且其入渗是均匀且稳定的简单条件开始。后续还有多个课题有待学者们研究。笔者期待更多创新成果出现。