Banach空间中分数阶脉冲积-微分方程的e指数型Ulam-Hyers稳定性

赵彦霞, 杨 和

(西北师范大学 数学与统计学院, 兰州 730070)

0 引 言

分数阶微积分在控制系统、 统计与随机过程、 黏弹性力学、 人口动力学、 化学技术等领域应用广泛, 关于其稳定性的研究已取得许多成果[1-7]. Alsina等[8]研究了微分方程的Ulam-Hyers-Rassias稳定性; Jung[9]研究了一阶线性微分方程φ(t)y′(t)=y(t)的稳定性; Popa等[10]讨论了线性微分方程的广义Ulam-Hyers-Rassias稳定性; Wang等[11-12]讨论了整数阶脉冲微分方程

和非线性分数阶脉冲微分方程

的广义Ulam-Hyers-Rassias稳定性, 其中:cDq为q∈(0,1)阶Caputo型分数阶导数;f:J×→;Ik:→.

受上述研究结果的启发, 本文首先在Banach空间X中考虑分数阶脉冲积-微分方程Cauchy问题

(1)

其次, 讨论分数阶脉冲积-微分方程

(2)

的e指数型Ulam-Hyers稳定性.

Balachandran等[6]在非线性项f:J×X×X→X连续且满足一致Lipschitz条件的情形下, 讨论了Banach空间中非线性分数阶积-微分方程(非局部)Cauchy问题

解的存在唯一性, 并考虑了其脉冲影响; 文献[7]用相同方法讨论了Cauchy问题(1)解的存在唯一性. 本文用完全不同于文献[7]的方法, 去掉了一致Lipschitz连续的条件, 用Krasnoselskii不动点定理和广义Gronwall不等式分别证明Cauchy问题(1)解的存在性和唯一性, 并讨论问题(2)的e指数型Ulam-Hyers稳定性.

1 预备知识

‖A‖B(X)=sup{‖A(y)‖: ‖y‖=1}

构成的Banach空间.

对于可测函数ψ:J→, 定义范数为

关于分数阶积分和Caputo型分数阶导数的概念参见文献[13].

引理2(Krasnoselskii不动点定理)[14]设B为Banach空间X中的一个非空闭凸子集, 若算子P,Q: B→X满足如下条件:

1) 对∀x,y∈B, 有Px+Qy∈B;

2)P是压缩算子;

3)Q是全连续算子.

则P+Q在B内至少有一个不动点.

引理3(Gronwall不等式)[12]设α>0,a(t)为[0,T)上局部可积的非负函数, 且g(t)为[0,T)上非负不减的连续函数,g(t)≤l, 若u(t)非负, 在[0,T)上局部可积且满足

则

注1[12]在引理3的假设条件下, 取a(t)为[0,T)上的不减函数, 则有

|u(t)|≤a(t)Eα(g(t)Γ(α)tα),

2 存在性和唯一性

对∀r,η>0, 记

Br∶={u∈PC(J,X): ‖u-u0‖PC≤r},

Dη={u∈PC(J,X): ‖u‖PC≤η}.

假设:

(H1)f:J×X×X→X连续, 且存在常数q1∈(0,q)和函数h*(t)∈L1/q1(J), 使得

‖f(t,u,Hu(t))‖≤h*(t), ∀t∈J,u∈Br;

(H2) 函数Ik:X→X连续, 且存在常数L1>0, 使得

‖Ik(u)-Ik(v)‖≤L1‖u-v‖, ∀u,v∈X,k=1,2,…,m;

(H3)f:J×X×X→X连续, 且存在常数L>0, 使得

‖f(t,x,u)-f(t,y,v)‖≤L(‖x-y‖+‖u-v‖), ∀x,y,u,v∈Dη;

(H4)A:J×X→B(X)为连续线性算子, 且存在常数M>0, 使得

‖A(t,u)-A(t,v)‖B(X)≤M‖u-v‖,t∈J,u,v∈Dη;

(H5)h:Δ×X→X连续, 且存在常数L2>0, 使得

‖h(t,s,u)-h(t,s,v)‖≤L2‖u-v‖, ∀u,v∈Dη, (t,s)∈Δ.

为叙述方便, 记

M*∶=‖A(t,u)‖B(X)≤M(‖u0‖+r)+N,N1=2Mη+N+L+LL2T,

定理1如果假设条件(H1),(H2)成立, 且

成立, 则Cauchy问题(1)在PC(J,X)中至少有一个解.

证明: 取

定义算子P,Q:Br→PC(J,X)如下:

由引理1可知, Cauchy问题(1)的解等价于算子P+Q的不动点, 下面分3步证明P+Q在Br中至少有一个不动点.

1) 对∀u,v∈Br, 有Pu+Qv∈Br.

由f,Ik,A的连续性可知,Pu+Qv∈PC(J,X), 且对∀t∈J, 用Hölder不等式, 有

即Pu+Qv∈Br.

2)Q是压缩算子.

对∀u,v∈Br及∀t∈J, 有

所以‖Qu-Qv‖PC≤r*‖u-v‖PC. 故Q为压缩算子.

3)P为全连续算子.

由f的连续性可知, 显然P是连续的, 且P在Br上是有界的. 因此由Arzela-Ascoli定理, 只需证明P是等度连续的.

对∀0≤τ1<τ2≤T, 有

当τ2→τ1时, 式(3)的右端趋于0, 故P是等度连续的.

从而由P的连续性知P全连续, 进而由引理2知,P+Q在Br上至少有一个不动点, 该不动点即为Cauchy问题(1)的解. 证毕.

定理2若假设条件(H2)～(H5)成立, 则Cauchy问题(1)有唯一解.

证明: 设u,v分别为问题(1)关于初值u(0)=u0和v(0)=v0的解. 由(H4)可得

则

故

由引理3可知

对式(4)取上确界, 可得

因此当u0=v0时, 有u=v, 所以Cauchy问题(1)有唯一解. 证毕.

3 e指数型Ulam-Hyers稳定

设ε>0, 考虑下列不等式组:

(5)

定义1[12]如果存在一个常数c>0, 使得对每个ε>0及不等式组(5)的每个解y∈PC(J,X), 都存在问题(2)的一个解x∈PC(J,X), 满足不等式

‖y(t)-x(t)‖≤cε,t∈J,

则称问题(2)是Ulam-Hyers稳定的.

定义2[15]如果存在一个常数c>0, 使得对每个ε>0及不等式组(5)的每个解y∈PC(J,X), 都存在问题(2)的一个解x∈PC(J,X), 满足不等式

‖y(t)-x(t)‖≤cεe(λ/α)t,t∈J,

则称问题(2)是e指数型Ulam-Hyers稳定的.

注2[12]y∈PC(J,X)为不等式组(5)的解的充要条件是存在g∈PC(J,X)和一个序列{gk}(k=1,2,…,m, 与y有关), 使得：

1) ‖g(t)‖≤ε,t∈J, ‖gk‖≤ε,k=1,2,…,m;

注3设y∈PC(J,X)是不等式组(5)的一个解, 则y满足积分不等式:

事实上, 由注2可得

当t∈(tk,tk+1]时, 有

则

定理3假设条件(H2)～(H5)成立, 则问题(2)是e指数型Ulam-Hyers稳定的.

证明: 设y∈PC(J,X)是不等式组(5)的解, 由定理2可知, 存在唯一的x是Cauchy问题

的解. 则有

对∀t∈(tk,tk+1], 下列结果成立:

将式(6)两边同乘e-(λ/α)t后取上确界, 可得

整理得

[1-γ(m+1)N2-mL1]‖x-y‖λ/α≤[m+(m+1)γ]ε,

即

‖x-y‖λ/α≤N3ε.

因此

‖y(t)-x(t)‖≤N3εe(λ/α)t.

故问题(2)是e指数型Ulam-Hyers稳定的. 证毕.

4 应 用

例1考虑下列分数阶脉冲积-微分方程(其中0

(7)

和不等式组

(8)

设y∈PC([0,1],X)为不等式组(8)的解, 则存在g∈PC([0,1],X)和g1∈X, 使得:

‖g(t)‖≤ε,t∈[0,1], ‖g1‖≤ε;

(10)

取

设x,y∈PC([0,1],X),t∈[0,1], 由假设(H2)～(H4)可得

‖y‖PC,‖x‖PC≤η=1,

由式(9),(10)及分数阶积分的定义, 有

设式(7)的唯一解为

因此对∀t∈[0,1], 有

将式(11)两边同乘e-(λ/α)t后取上确界, 可得

整理得

即

因此

故由定理3可知, 问题(4)是e指数型Ulam-Hyers稳定的.