“思意数学”六种课型教学模式构建与探索

林伟 罗朝举

[摘  要] 课堂教学是落实数学核心素养的主渠道.“思意数学”以数学现象具体“意境”为学习路径，以贴近学生生活“情意”为学习动力，强调学习者在学习中建构知识，感受数学情感，从而构建了数学课型：“概念课”“定理（公式）课”“习题（例题）课”“复习（专题）课”“讲评课”“课题研究课”. 根据课型类别提出教学模式，解决教师的“教”与学生“学”之间的关系，为学而教，为思维而教，落实数学核心素养.

[关键词] 思意数学;教学设计;课型;教学模式;教学实践

编者按 “思意数学”是林伟老师从教30年数学教学的实践成果.他从1990年开始，先后开展了“学导法教学”“三二六课堂教学”“四主五环节目标教学”“三段五步教学”“思维学导式教学”“思维表达型课堂教学”和“思意数学教学”的实践研究与探索，逐步实现由“数学思维教学”向“数学意蕴教育”的发展.林伟老师的“思意教学”是以“为学而教，不教之教”为理念，以“激情、自然、朴实、灵动、致用”的教学风格为主线，逐渐凸显“融思之规律、意之方法、思意于一体”的特点.林伟老师与其名师工作室中的老师们在实践和研究中，不断地丰富、拓展着“思意数学”的内涵和实践路径，同时坚持探索新时代对新数学课堂的价值诉求，以落实“立德树人”为根本任务，坚持发展学生素养和能力为重，以实现学生健康成长为追求目标.随着探索和学习的不断深入，广东省林伟名师工作室凝练出了“思意数学”教育教学思想，提炼出一系列标志性成果.本期推出林伟名师工作室核心成员的两篇论文，以飨读者.

“思意数学”教学是学生从“思”到“意”的过程，学生起始于问题思索，围绕着提高学生的数学思维能力开展教学活动，通过学习感受到数学的意蕴. 根据不同的课型构建不同的教学模式，让学生主动地探索数学知识、掌握数学技能和培育数学思维.

“思意数学”六种课型教学模式的构建

以数学课型为切入点，继承传统的数学课型：“新授课”“复习课”和“讲评課”，研究了数学新的课型：“概念课”“定理（公式）课”“习题（例题）课”“复习（专题）课”“讲评课”“课题研究课”. 六种教学模式的框架分为四个部分，即：教学程序、教师活动、学生活动和学生发展.每一步的教学程序皆对应不同的学生认知过程和教师教学活动，关注学生活动和学生发展.

（一）概念课教学模式

概念课课型通过各种数学形式、手段，对研究对象的本质属性进行揭示和概括，引导学生理解研究对象的共同属性，进一步认识和理解概念的“内涵”与“外延”. 概念课的教学模式，是通过“问题情境，引入概念—激学导思，形成概念—引议释疑，理解概念—点拨提高，深化概念—精讲训练，应用概念—归纳自结，升华概念”六个环节来实现的. 如图1所示.

概念课最关键之处是概念的导入，教师根据概念本身，进行设计问题或具体事例，通过对情境呈现的感性材料的观察、分析，发现并凝结出其本质属性，从而转化为数学模型，直观体验中感知概念. 学生通过概念学习将深刻理解所学概念、方法和新知识的内在联系，不断地内化新知识、搭建知识结构、知识再建构，不仅全面完成教学目标，并且帮助学生逐步形成概念的深度理解的能力.

（二）定理（公式）课教学模式

定理（公式）课是旨在理解公式、定理的形成过程，揭示数学思想、思维方法和典型的数学技能技巧在其推导、论证中的应用;理解公式、定理适应的范围及成立的条件和得出的结论. 定理（公式）课教学模式的操作程序为：“问题情境，引入定理—激学导思，探究猜想—引议释疑，验证论证—点拨提高，获得定理—精讲训练，应用定理—归纳自结，升华定理”. 如图2所示.

学生在对所学定理、公式、方法的学习和探索中，知识不断地内化再建构，形成自己的知识结构，从而全面完成教学目标，逐步形成大胆假设、演绎推理及创新的能力.

（三）例题（习题）课教学模式

习题课是新知课之后，教师有计划地对学生进行一系列基本知识训练，目的就是为了巩固学生学过的知识. 例题（习题）课的教学程序为：“梳理知识，精选范例—激学导思，探究方法—引议释疑，应用方法—点拨提高，深化理解—精讲训练，拓展提升—归纳自结，诊断矫正”. 如图3所示.

通过例题（习题）课对知识体系、解题方法、规律的认识和提炼，学生将课堂上所用知识、方法加以梳理、概括，纳入知识方法体系. 学生对概念的理解进一步完整化、具体化，牢固掌握所学知识系统;学生对研究问题的方法加以总结，能够掌握探究学习的方式方法，并逐步使之成为学生的自觉行为，培养良好的思维习惯.

（四）复习（专题）课教学模式

学生复习的过程就是对已学知识进行整理、巩固、提高的过程，在这个过程中应以学生的活动，即主动整理知识为主，让学生主动参与教学全过程，充分发挥每位学生的主体动能，激活学生的思维.复习（专题）课的教学程序是：“知识归析，构建网络—精选范例，激学导思—引议释疑，探究方法—点拨提高，深化理解—精讲训练，拓展提升—归纳自结，反馈矫正”. 如图4所示.

复习（专题）课上，教师引导学生按一定的标准把有关知识进行整理、分类、综合，学生通过整理知识，通过回忆、思考、查阅课本等方式，以表格、树状图或纲要的形式构建自己的知识体系.

（五）讲评课教学模式

讲评课是学生继续学习过程中的一个必不可少的环节.讲评课的教学目的是“及时矫正错漏”“增强学习自信心”.数学讲评课的教学程序是：“发放试卷，总体评价—激学导思，引出错因—引议释疑，讲析研讨—点拨提高，深化理解—精讲精练，拓展提升—归纳自结，反馈矫正”. 如图5所示.

值得强调的是，讲评课常采用激励小结法，教师以激励性语言，激发学生学习积极性，培养形成“胜不骄败不馁”的学习心态. 学生感受到来自教师的期待，更加充满信心，以较高的学习积极性、饱满的学习热情迎接新的挑战和知识的学习.

（六）课题研究课的教学模式

课题研究课主要以学生探究为主，强调小组合作，培养学生创新精神与实践能力. 课题研究课的教学程序是：选好研究课题—定好研究计划—搜集信息，整理资料，展开研究—撰写研究报告，交流研究成果. 如图6所示.

数学课题的选择应具有一定的可行性、科学性、操作性、实用性、趣味性和参与性，让学生都能参与.研究课题的选择自由化，学生可以根据自身兴趣选择课题，然而绝大多数学生缺少课题研究学习的经历，缺乏研究课题的基础.鉴于此，教师有针对性地给学生提供多个研究方向，引导学生根据自身的学习、生活经验以及对社会和大自然的观察自主提出问题，确定研究方向，以此培养学生发现问题、解决问题的能力，研究意识的形成以及研究方法的初步掌握.

“思意数学”课堂教学的探索

下面以“圆的一般方程”的教学为例探索概念课课堂教学程序.

本节课主要内容是圆的一般方程，在教学过程中要让学生通过探究，分析并掌握圆的一般方程，并能加以运用. 本节课要求学生理解待定系数法、轨迹法等数学方法，在教学过程中数形结合思想、用代数法解决几何问题的思想要贯穿始终.

（一）问题情境，引入概念，开启思维

为什么要学习本节课内容（学习的必要性）？

（1）在初中阶段，我们初步接触了圆的概念，研究了圆的几何性质.在前面一节课中，我们又在平面直角坐标系中对圆的标准方程进行了定义和学习，利用点到直线的距离公式推导出了圆的标准方程，用代定系数法求解了过平面内不在同一直线上三个点的圆的标准方程（即三角形的外接圆方程），以及圆心在某条直线上且过直线外两点的圆的标准方程. 但有学生觉得计算量比较大，花费时间较多，怎么办？

（2）圆的标准方程，有它的优点，可以直接求出（或者说是看出）圆心和半径. 但是，我们有时候遇到的圆的方程不一定是标准形式的方程，那么具有更一般形式的圆的方程是什么样的，哪些类型的方程才能表示圆，这样的方程都可以表示圆吗，要满足什么条件才能表示圆，能够求出圆心和半径吗？这些问题都需要我们进一步解决.

前面我们学习了圆的标准方程，来看下面的思考题：

思考1：圆心在C（-3，4），半径为7的圆的标准方程是什么？

思考2：圆心在原点，半径为3的圆的标准方程是什么？

思考3：下列方程分别表示什么图形？

（1）x2+y2-2x+4y+1=0;

（2）x2+y2-2x-4y+6=0.

设计意图：问题是数学的心脏，以思考题、问题串的形式引入新课，使学生处于一种积极发动思维解决问题的状态中，将内容放在学生思维的最近发展区，符合学生的认知特点，思考2则为圆的一般方程的引入做了很好的铺垫.

（二）激学导思，形成概念，交流思维

师生活动：学生思考回答.

生1：圆心在C（-3，4），半径为7的圆的标准方程是（x+3）2+（y-4）2=49.

生2：圆心在原点，半径为3的圆的标准方程是x2+y2=9.

师：思考3中的方程分别表示什么图形呢？

生3：方程x2+y2-2x+4y+1=0需要配方，化为圆的标准方程的形式（x-1）2+（y+2）2=4，可以看出方程表示圆心在点（1，-2），半径为2的圆.

师：回答得很好，需要对方程进行配方，化为圆的标准方程的形式.

生4：方程x2+y2-2x-4y+6=0配方以后，化为（x-1）2+（y-2）2=-1，显然方程两边不会相等，不是圆.

师：上面的方程两边不相等，不表示圆，那方程表示什么图形？

生：（沉思后回答）方程应该不能表示任何图形.

师：很好，这个方程不表示任何图形.

思考4：将圆的标准方程（x-a）2+（y-b）2=r2展开，得到的方程有什么特点？

设计意图：将圆的标准方程展开，得到圆的一般方程，突出了圓的方程形式上的特点.

师生活动：师生合作，将原方程展开后，得到的方程为x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.

令-2a=D，-2b=E，a2+b2-r2=F，

圆的标准方程可以写成下面形式：

x2+y2+Dx+Ey+F=0. （*）

师：给出一个形如（*）的方程，它表示的曲线一定是圆吗？

生：不一定.

师：在什么情况下可以表示圆呢？

思考5：方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（*）表示什么图形？

设计意图：将学生的思维一步步引向深入，通过层层引导，使学生认识圆的一般方程.让学生充分参与到课堂中，将课堂还给学生. 通过对D2+E2-4F符号的分类讨论，使问题化难为易，突破难点，让学生充分了解分类讨论思想在数学中的重要地位，让学生认识研究问题中由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想，增强学生应用数学的意识.

师生活动：师生共同探讨分析，解决问题：将方程的左边配方，配方过程由学生完成，得到x+■■+y+■■=■.

分析D2+E2-4F与0的大小关系，从而得到方程所表示的图形.

生：对于方程（*）.

（1）当D2+E2-4F>0时，表示以点-■，-■为圆心，r=■为半径的圆;

（2）当D2+E2-4F=0时，表示点-■，-■;

（3）当D2+E2-4F<0时，不表示任何图形.

师：当D2+E2-4F>0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个圆. 此时，我们把这个方程叫做圆的一般方程.

师：我们已经得到了圆的一般方程，请同学们观察一下圆的一般方程，它有什么特点呢？

生1：方程是一个关于x，y的二元二次方程.

生2：方程中x2项和y2项的系数都是1.

师：系数都是1吗？

生3：方程中x2项和y2項的系数只需要相等且不等于零就可以了.

师：对，不一定要规定两个系数都是1，只需要相等且不等于零就可以了.还有什么特点？

生4：这个二元二次方程，缺少xy项.

思考6：圆的标准方程与一般方程各有什么特点？

设计意图：得出概念后，马上让学生观察方程的形式，并与前面学习的一般方程做比较，为进一步的学习打下基础. 从问题的探究和概念的抽象过程中，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.在探究问题的过程中，进一步激发学生的好奇心，此时将前面的讨论结果进行适时归纳形成知识概念，有利于学生思维过程深化. 通过让学生比较，进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力，强化学生的观察、思考能力.

（三）引议释疑，理解概念，提升思维

师生活动：教师引导，启发学生归纳比较.

生1：圆的标准方程中有三个特定的参数a，b，r，而圆的一般方程中有三个特定的系数D，E，F，所以只要求出对应的三个系数，圆的方程就确定了.

师：非常好，这位同学从方程的参数或系数方面指出了圆的标准方程与一般方程的相同点，再观察一下，还有吗？

生2：与圆的标准方程相比较，圆的一般方程是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显. 圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显.

师：这位同学从代数特征方面和几何特征方面指出了圆的两种方程的区别.同学们在学习解析几何的过程中，特别要注意代数与图形的联系，也就是数学中的数形结合思想.

（四）点拨提高，深化概念，优化思维

思考7：（口答）请将下列圆的标准方程化为一般方程，

（1）（x-8）2+（y+3）2=13;

（2）（x+1）2+（y-4）2=8.

思考8：（口答）写出下列各圆的圆心与半径，

（1）x2+y2-2x+4y-6=0;

（2）2x2+2y2-4x+12y=0.

思考9：（口答）已知圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心为（-2，3），半径为4，则D=_______，E=______，F=______.

设计意图：进一步深化概念，将圆的一般方程和标准方程紧密结合在一起，在学生的头脑中形成知识框架.将概念与实例结合起来，让学生试着用刚刚掌握的概念去解决这些问题，达到学以致用的目的.

通过一些基础知识类的例题巩固学生的概念，理解圆的一般方程的代数特征与几何特征，及与标准方程的相互转化，进一步培养学生探索、发现、分析问题的能力.

师生活动：学生口答.

生1：思考7，（1）x2+y2-16x+6y+60=0;（2）x2+y2+2x-8y+9=0.

生2：思考8，（1）圆心（1，-2），半径r=■;（2）圆心（1，-3），半径r=■.

生3：思考9，D=4，E=-6，F=-3.

（五）精讲精练，应用概念，拓展思维

例1：求过三点O（0，0），A（1，1），B（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标.

设计意图：强调解题思路并与圆的标准方程和一般方程相联系，紧紧抓住圆心、半径这两个确定圆的要素，这样学生容易接受本节课内容.

让学生带着问题思考，设疑激趣导入课题.利用圆的标准方程解决此问题显然有麻烦，让学生通过对同一个问题的两种解法的比较，一方面加深对解题方法的理解;另一方面促使学生养成解题后反思的良好习惯.问题解决方法不唯一，为学生的发散思维创设了空间.

师生活动：师生共同分析，由于O（0，0），A（1，1），B（4，2）不在同一条直线上，因此经过O，A，B三点有唯一的圆. 思路一：可以设圆的标准方程，根据三点都在圆上，它们的坐标都是方程的解，列方程组解出a，b，r即可. 思路二：可以设圆的一般方程，根据三点都在圆上，它们的坐标都是方程的解，列方程组解出D，E，F即可.

生：求过不在同一直线上的三个点的圆的方程，如果用圆的标准方程，得到的是三元二次方程组，解方程过程较为烦琐，而用圆的一般方程，得到的则是三元一次方程组，解方程组的过程会简单很多.

师：棒极了！这提示了我们，求一个三角形的外接圆方程，用哪种形式设圆的方程解答过程会简单些？

生（齐）：圆的一般方程.

具体的解题过程由大家完成.

师：不管是思路一，还是思路二，我们都是利用方程组解出与圆的方程有关的三个参数的值，这种方法叫做什么？

生：待定系数法.

师：请同学们根据本题的解题过程，归纳使用待定系数法求解圆的方程问题的一般步骤.

学生讨论交流，归纳得出使用待定系数法求圆的方程的一般步骤：

（1）根据题意，选择标准方程或一般方程;

（2）根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组;

（3）解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或一般方程.

师：通过比较这两种方法解决本题，你有何体会？

师生共同总结，待定系数法是求圆的方程最常见的方法，但是在求圆的方程时是设标准方程还是设一般方程，要由已知条件确定. 一般地，如果由已知条件易求得圆心坐标、半径或需要利用圆心坐标、半径列方程，常选用标准方程;如果已知条件与圆心坐标、半径无直接关系，常选用一般方程.

例2：已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆（x+1）2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.

设计意图：通过对这个问题的解决，让学生理解用坐标法求动点的轨迹方程的思想方法，从“数”与“形”两个角度引导学生主动思考，主动探究，讨论交流，在积极的学习中解决问题，进一步强化数形结合意识，促进学生数学思维的形成，提高学生的綜合素质，培养其核心素养. 例题牵涉的内容较难理解，借助于多媒体辅助，学生可以非常直观地看到在点A的运动过程中，点M的运动轨迹，也为后面的解答做了铺垫，确立了方向.

师生活动：教师用几何画板演示点M的轨迹，给学生以直观的印象，然后师生一起分析解决.

师：从图形上看，随着点A的运动，点M也在运动，它运动的轨迹是什么图形？

生：圆.

师：点A在已知的圆上运动，点A的坐标满足什么条件？

生：满足圆的方程（x+1）2+y2=4.

师：我们如何建立点M与点A的关系？

生：点M是线段AB的中点，可以由中点坐标公式得到两个点坐标之间的关系.

师：好，只要我们建立起点M与点A坐标之间的关系，就可利用点A坐标满足的条件，从而建立点M的坐标满足的条件，进而求出点M的轨迹方程.下面请大家试着解决一下这道题目.

学生分析，教师板书解题过程.

设点M的坐标为（x，y），点A的坐标为（x0，y0），点A在圆（x+1）2+y2=4上，所以（x0+1）2+y■=4.（*）

因为点M为线段AB的中点，所以x=■，y=■， 故x0=2x-4，y0=2y-3.

代入（*）得（2x-4+1）2+（2y-3）2=4，

整理得，x-■■+y-■■=1.

所以，点M的轨迹是以■，■为圆心，1为半径的圆.

师：我们再来回顾一下，本题中求动点M轨迹的方法叫做转移法. 通常，我们在用转移法探求点的轨迹问题时，可以先用信息技术工具探究轨迹的形状，对问题有一个直观的了解，然后从本质上分析轨迹形成的原因，找出解决问题的方法，制定合理的解题策略.

需要注意的是“轨迹”与“轨迹方程”是不同的两个概念，前者是图形，要指出形状、位置、大小（范围）等特性;后者是方程（等式），不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围.

（六）归纳自结，升华概念，发展思维

思考10：本节课学习了圆的一般方程，那么方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件是什么？

思考11：用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是什么？

设计意图：通过学生的讨论交流，把圆的一般方程加以小结，归纳总结用待定系数法及坐标法解题的基本步骤，提炼分类讨论、化归转化、数形结合等数学思想.小结时留部分空白给学生思考，使学生养成提出问题、解决问题的好习惯.

师生活动：师生共同总结、归纳，把知识方法系统化，形成能力.

师：方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示什么图形？

生：（1）当D2+E2-4F>0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以点-■，-■为圆心，r=■为半径的圆;

（2）当D2+E2-4F=0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示点-■，-■;

（3）当D2+E2-4F<0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0不表示任何图形.

所以方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件是D2+E2-4F>0.

师：圆的标准方程与一般方程分别应用于哪种条件下会简单一些？

生：当知道圆心和半径时，使用圆的标准方程比较简单;当知道圆经过三点时，使用圆的一般方程比较简单.

师：非常好，同学们要注意求圆的方程过程中，方程形式的选择.

师：用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是什么？

生：（1）根据题意，选择标准方程或一般方程;

（2）根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组;

（3）解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或一般方程.

师：同学们还要注意转移法求动点轨迹的方法步骤.另外要区分“曲线”和“方程”两个概念，“曲线”和“方程”是动点运动规律在“形”和“数”方面的反映.在解析几何的问题中，求动点的轨迹方程是一种常见题型. 求动点的轨迹方程的常用方法有：直接法、转移法.

目标检测设计

1.？摇课堂检测

（1）填表（表1）

（2）若方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0的图形表示一个圆，则k的值是________.

（3）已知点M与两定点O（0，0）、A（3，0）的距离为比为■，求点M的轨迹.

设计意图：课堂目标检测部分紧贴本节课的例题，主要引导学生发现规律、得出结论，让学生经历知识升华的过程，体验成功的喜悦，激活潜在的学习热情.

在这一环节中，教师设计不同难度的题目作为巩固性训练，给不同层次的学生一块“用武”之地，让每一位学生体验学习数学的乐趣. 除了让学生熟悉巩固知识运用方法外，教师还可以让学生板演或采用实物投影学生解题过程的方式，这样既可以及时反馈学生知识的掌握情况，又可以纠正学生在解题过程中出现的各种问题.

2. 课后检测

（1）已知圆M过点A（-1，5），B（-2，-2），C（5，5），求圆M的方程.

（2）过圆外一点Q（a，b）向圆O：x2+y2=r2（r>0）作割线，交圆于A，B两点，求弦AB中点M的轨迹.

（3）课外探究：在初中时我们学习过直线与圆的位置关系，请同学们课下回忆整理一下有关内容，思考一下直线与圆的位置关系能否用代数方法，即用直线方程和圆的方程的知识来解决.

设计意图：作业布置突出本节课知识点，适量且给出必做题和探究题，以适应分层教学、分层达标的要求.通过设置分层作业，让所有的学生既能吃得饱，又能吃得好，即让每一位学生都能体验到学习数学的乐趣，增强学习数学的愿望与信心.

（七）教学反思

1. 教学中结合本节课的特点，向学生渗透多种数学思想方法：配方法、待定系数法、数形结合思想、转化思想、分类讨论思想、方程思想，在教学中培养学生的直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养，同时对学生的观察、类比、归纳、总结、创新、应用等多种能力的培养有利，通过求圆的一般方程使学生又进一步熟悉待定系数法的应用. 我们的教学让学生在学习的过程中体会思想，体会知识的辩证统一，体会由简单到复杂、由特殊到一般的研究问题的方法，更能够将较复杂的问题简单化，回归到知识产生的根源，真正意义上把握知识的本质，回归知识的本源.教会学生如何分析，让他们拥有解决问题的能力，才是我们教育的真正任务.

2. 为了充分调动学生学习的积极性，本节课采用“小组合作、探究、启发式教学法”，用环环相扣的思考题、问题串将探究活动层层深入. 教学过程中以学生为本，以问题解决为手段发展学生的创造性思维，教师作为课堂的组织者，组织学生分析讨论、合作探究.

3. 本节课的设计思想是：利用多媒体教学课件进行辅助教学，借助信息技术手段，利用几何画板软件进行动态演示，为学生营造一个探究学习的环境，让他们参与到多媒体教学中来，探究新知，发现规律，解决问题.