三次函数中一类参数范围问题的求解策略

徐卫东

[摘 要]导数作为高考的热门考点，考查力度在近几年的高考中有增无减，而通过求导研究三次函数的性质又是高中数学教学的重点，且一直活跃在全国各地的高考卷中.本类问题往往能很好地体现出函数与方程、数形结合、分类讨论、轉化与化归等数学思想.

[关键词]三次函数;参数范围;求解策略

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2020）26-0017-03

通过研究各地模拟卷及高考试卷发现，三次函数求导主要有三大题型：一是已知函数有三个单调区间，求相关参数范围;二是已知方程有三个不等实根，求相关参数范围;三是已知曲线存在三条切线，求相关参数范围.本文从三个方面给出示例与说明.

题型一、已知函数有三个单调区间，求相关参数范围

说明：“已知方程有三个不等实根，求相关参数范围”是三类问题中最重要的.实际上，例2所说的两个函数图像有三个交点，即等价于对应方程有三个根，而方程有几个根的问题可以由函数的极大值和极小值的正负来确定，即“几个交点几个根，正负极值定乾坤”.由于交点问题和求根问题的等价性，我们也可以用函数图像交点的个数来确定方程的根的个数. 对于例2，学生可以通过分离参数完成，也可以通过极值与0比较得到，变式1显然分离参数不易，可以通过十字相乘求出极值点，但此处的计算极易发生错误，不少学生容易漏掉[a≠±1]，变式2的第2问实际上又回归到例2，但放在此处匠心独运，为第3问证明不充分性的解决起到雪中送炭的作用，这样可以培养学生敏锐的洞察力，让学生学会前后联系，培养学生数学学习的直观性，让学生找到解决问题的“第六感”.

题型三、已知曲线存在三条切线，求相关参数范围

说明：已知曲线存在三条切线，求相关参数范围问题最终均转化为题型二解决，首先要让学生明白切点在何处，若未知则需要假设出切点.例3为2008年全国卷的题目，此题第二问不少学生乍一看感觉形式简洁，无从下手，实际操作后发现是一只“纸老虎”，因为[a3-a=f（a）]，这时颇有“化险为夷”之快感，变式1的第一问要求学生挖掘题目隐含信息，课堂需要学生画出导函数的图像帮助理解，进一步由导函数图像理解原函数图像，而第二问最终转化为题型二的例2完成，变式2的本质是要求学生证明经过的该点即为曲线的切点.

三次函数的性质还有很多，本文着重从“三”入手，重点解决求导在三次函数存在三个单调区间、三个不等实根、三条切线这三方面的应用，当然，在课堂教学中可以把此类研究手段进一步迁移到研究超越函数中，可以让思维拓展到更深处，正所谓“三三不尽，六六无穷”.本节课包含了数形结合、函数与方程、转化与化归等主要的数学思想;学生通过学习，掌握的主要技能有信息处理的敏感性、信息处理的周密性、信息处理的前瞻性;学生体会到三重学习境界：山重水复疑无路，柳暗花明又一村;忽如一夜春风来，千树万树梨花开;纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行.

（责任编辑 陈   昕）