寻根悟法 积石成山——谈高中数学试题的“命、解、评”

黄 健 (江苏省苏州市教育科学研究院 215000)

提升解题能力和命题能力是教师专业发展的必由之路，这是课堂教学、理论研究中不可或缺的基本功，也是其专业功底、教学素养和教学水平的综合体现．我市教科院已连续多年组织了教师学科素养大赛和试题“命、解、评”团队比赛．从实践情况看，大部分教师对试题的理解不到位，只看局部而忽视整体，不注重问题间的联系，无法把握核心本质．也有一部分教师的理念与时代脱节，缺乏研究意识，对新课标的育人理念不重视，对试题的发展方向不了解，教学方向发生偏差．只有明确方向、把握规律、认清本质，一线教师才能做到思想浸润、方法自觉，从而大幅提升专业认知能力．下面笔者结合实践，谈谈对高中数学试题命、解、评的研究，希望对广大教师有所启发．

1 解题过程是对数学知识的认识与领悟

数学问题通常分为两类：推理类和化归类．解推理类问题，就是运用公理、定理、公式等手段将问题逐步简化并最终达成目标．解化归类问题，就是将未知的数学问题转化为已经解决的问题．

每一个数学问题都有一条或多条解决途径，解题一般都是从现有知识或经验出发．知识与经验是区分解题能力强弱的重要因素，教师要努力提升自身的解题经验，并通过阐述解题的心路历程及体会，激发学生的探究热情，丰富认知，提升解题能力．解题经验的提升，一要加强学习与培训，二要培养探索与反思的习惯，通过研究方法的科学性、合理性，总结提炼问题本质，来加深对问题的理解．我们建议做到以下几点．

1.1 关注差异与方向

首先，从宏观视野下观察已知条件和目标的差异．比如，已知什么，目标是什么？如何在已知与目标间搭建桥梁？其次，从微观层面上观察问题的结构特征．比如，已知与目标间的代数差异有哪些？

分析 本题已知角度关系，目标是研究边的数量关系，因此消除边角差异是解题的突破点．

图1

1.2 挖掘问题本质

数学问题的本质是数量结构和存在关系的内在联系，探求问题本质的过程是验证结构和关系方法的过程．其中挖掘数式整体特征和图形特征是重要手段，教学中要了解常见数式特征与几何图形的关联，熟悉数与形各自的解题优势，重视两者的相互转化．

例2已知m，n∈(0,+∞)，且m+3n=1，则mem+3ne3n的最小值是．

分析 先从宏观角度观察，令x=m，y=3n，问题转化为：已知x>0，y>0且x+y=1，求xex+yey的最小值．代入消元是最容易想到的方法，但消元时，若不注意“消去的元”对“保留的元”有范围的约束，则容易产生错误．那么，本题的本质是什么？

点评 本题的代数本质是排序不等式．

图2

图3

1.3 形成思维模型

新课标指出，高中数学教学要以发展学生数学学科核心素养为导向，创设合适的教学情境，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质．形成思维模型是学生实践能力发展的一个关键节点．简单地讲，思维模型就是思想的基本过程，也是思维的结构与习惯．通过思维模型可以快速找到解题方向，突破难点．加强解题的一般性研究，最终形成思维模型，是提升解题能力的重要方法，教学中应从具体问题中去挖掘．比如，常见局部条件的思维出发点在哪里？解决某类问题的一般路径有哪些？局部常见手段有哪些？而思维导图是思维模型的形象呈现，如图4是平面向量数量积问题的思维模型导图．

图4

2 讲评过程是对数学思想的总结与反思

教师充分研究问题后，需要将研究成果分享给学生，这个过程包括讲题与评题．讲题是要将问题的基本思想与解法呈现给学生，而评题是点评试题考查方向、渗透本质属性、探寻一般特征、激活发散思维的重要手段．两者前后关联、相辅相成，它们能优化学生认知结构、提高思维素质，激发创新能力．讲评效果的好坏取决于教师对问题理解、把握的深刻性，以及课堂的艺术性．建议做到以下几点．

2.1 注意讲评的层次性

高中三年中，由于学生在不同时期认知的水平不同，教师对某类问题讲解与渗透的策略应是不同的．讲评的深度原则上要符合学生当前的思维水平．因此，教师要加强对教材、课标等的整体理解，把握好学生不同阶段的思维层次，做好“三年一盘棋”的规划．

图5

分析 学生对解析几何问题的理解往往会经历四个阶段：简单认知、逻辑认知、特点认知、核心认知．

简单认知直接求解

逻辑认知分析相关点联系

特点认知抓二次曲线结构特征

核心认知追根溯源探寻本质

2.2 善于挖掘共性问题

高效的课堂需要师生间的交流，优秀的教师上讲评课绝不是照本宣科，他们善于挖掘学生解题过程中的共性问题，通过展示一般解法，分享学生妙法，对比解法优劣，指出典型错误，分析交流错因(知识上、逻辑上、心理上、策略上和评分点上)，引导学生总结等手段，同时将讲评落到实处．

图6

分析 本题是一道统考题，对运算要求较高，从实际检测情况看，能够完全做对的学生凤毛麟角，部分学生可以猜出答案，但说理过程混乱．大部分学生的解答过程如下：

不难发现，本题暴露的共性问题是学生计算能力偏弱，对字母运算心存恐惧，解题手段单一，难以突破运算关．对此，教师应作如下引导：优化运算的途径有哪些？题干中的关键词有哪几个？定点定值问题的解题策略是什么？从学生解题的卡点开始，进行交流与展示．

2.3 重视局部细节展示

讲评课切忌从头到尾不分重点，一讲到底．教师应深入备课、深入研究，以点带面，突出重点、攻破难点．尤其要重视局部细节的过程展示，通过探索、迂回、构建、发散等方式开展交流，必要时还可设置问题微专题进行延伸拓展，引导学生整理、反思、总结、提炼．题目背后的东西要讲清、讲透，如：考查了哪些知识点？应用了什么方法？核心点在哪里？必要时可设置一组或几组类似题来强化训练，真正帮助学生将问题解决．

下面就例5谈谈如何进行局部细节的展示，解题的关键点应从恒等式出发．

(带着学生逐步演算，注重整体特征研究，能有效提高运算能力)

(抓住关键词“恒成立”，从特殊值下手先找后证，有效突破)

方法3 首先当A(-2，0)，B(2，0)时，猜想得M(1，0)．其次设y=k(x-1)，利用韦达定理代入证明即可．

(方法3和方法4是对特殊值法的深入优化)

3 命题过程是对研究成果的展示与深化

经过多年的积累，教师经历了从解题到评题的全过程后，可以开始尝试参与各类命题活动和命题比赛．命题是教师追求专业进一步发展的必由之路，命题能力反映了教师的研究水平．命题过程也是教师对自身研究成果的展示与深化，教师一方面可以在命制题目上展示自身的研究方向和教学主张，另一方面，在与同伴的磨题过程中会产生很多新想法，发现很多新结论，教师的认知水平又能得到进一步提高．

命题的境界大致可以分为两层：第一层是组合模仿，就是将陈题进行深化、改造、类比，常见的有改头换面、换元转换、调换逻辑、模型重组等形式；第二层是突破创新，这基于教师对某一领域有突破性的研究，要求具备较丰富的想法和较强的探索能力．从事命题研要注意以下几点．

3.1 强调语言的严谨性与科学性

命题的首要前提是要保证题目不能犯科学性错误，不仅要结果准确，而且还不允许存在歧义．试题中的关键词都要反复斟酌，防止出现因表达不严谨而导致的学生理解上的偏差，另外试题语言要符合学生的阅读习惯，尽可能少用长句或双重否定句，要体现亲和性．

例6在等比数列{an}中，已知a2=2，a6=8，则a2与a6的等比中项为．

分析 此类问题的争议之处为“a2与a6的等比中项为”.学生做填空题的时候，思维在一定程度上是开放的，有部分学生会问：“答案难道不能为a4吗？”从而暴露出设问的不严谨，可以修改为“a2与a6等比中项的值为．”

例7已知圆O：x2+y2=1，点A，B在动直线l：ax+y-4a=0上，且AB=2．若圆O上存在点C，使得△ABC为等腰直角三角形(C为直角顶点)，则实数a的取值范围为．

分析 本题对A，B两点的理解颇有争议，直线l绕着定点(4，0)转动过程中，点A，B相对于点(4，0)是否在动？为了强调A，B是动点，可修改为“若直线l：ax+y-4a=0上存在相距为2的两个动点A，B，圆O：x2+y2=1上存在点C，使得△ABC为等腰直角三角形(C为直角顶点)，则实数a的取值范围为．”

例8已知f(x)是二次函数，f(0)=f(5)= 0，f(-1)=12，求f(x)在[0，m]上的最小值．

分析 本题的最小值是常数还是含有m的式子？事实上，只要修改为“求f(x)在[0，m]上的最小值g(m)”就能消除歧义．另外还可增加设问，巩固学生对问题的理解，如：“当m变化时，求g(m)的最小值．”

3.2 注意对教材问题的再加工

教材是课标理念的集中体现，基于教材模型可以编拟出很多经典问题．教材改编题背景公平，体现基础性和导向性，重点突出，难度适中，它能让教师更准确地把握方向．对这些教材改编的经典问题，教师要学会多角度思考与研究，掌握解题的源与流，从而激活灵感，激发新的命题动力．

基于此想法，如果条件适当改变，可用类似方法解决．

上述问题的解题灵感从何而来？其实是源于一道课本经典题：“利用函数的单调性，证明不等式ex>x+1，x≠0，并通过图象直观验证．”此题的几何本质是函数y=ex与其在(0，1)处切线的位置关系，它给命题者提供了切线放缩的思路．此外，通过换元等方法对问题改造，可衍生出一系列重要结论．由于篇幅原因，本文不再赘述.

3.3 重视试题的实际背景和育人价值

命题的创新力源于生活，好的原创题都有较为深刻的实际背景和育人价值.新课标要求学生用数学眼光观察世界，用数学的思维分析世界，增强创新意识和探究精神，因此教师要努力挖掘生活中的素材，引导学生养成开放探究的习惯，增强实战能力．

图7

例10如图7，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为．

分析 本题以螺帽为载体，研究几何体的体积，涉及对运算能力和数据处理能力的考查，呈现了数学之美，让学生感受数学的应用价值．

(1){Sn}中是否存在连续三项成等差数列，若存在，请证明；若不存在，说明理由．

(2){Sn}中是否存在连续四项成等差数列，若存在，请证明；若不存在，说明理由．

分析 探究性问题是新高考的热点之一，本题以函数为载体给出递推关系，逐层递进，引导学生分析探究，促进其对数学本质的理解，有效提升了学科素养．

4 结语

王尚志教授指出，应培养好中国学生在数学学习中的六大核心素养，具体到教学层面来说，教师要运用分析、对比、联想等手段来引导学生观察、计算、推理、化简、化归和反思，提升其发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力．命题、解题、评题是高中数学教学永恒的话题，三者相互关联，相互促进，脱离了习题教学，高中数学教学就如一潭死水，毫无生气．建议广大教师加强对试题方向性、本质性和一般性的研究，通过数形结合、转化化归等手段，探求研题思路、反思研题过程，真正领悟问题核心，使解题能力变得游刃有余．同时要科学引导，教会学生“怎样思考”、“怎样自然地想到”，运用探究等方式激活思维，使学生经历知识发生、发展和形成的深度学习过程，运用联想、迁移等教学手段帮助学生建构认知体系，学会融会贯通，达成发展思维、提升课堂效率的目的，引领学生成为真正的数学高手！