数学解题中的动静结合*

李德安 (云南省曲靖市第一中学 655000)

孙雪梅 (曲靖师范学院数学与统计学院 655011)

随着基础教育课程改革的不断推进，为改变当前知识被绝对化和神圣化，而能力和素养却被弱化的教育现状，教育部在《关于全面深化课程改革，落实立德树人根本任务的意见》中提到：要研究提出各学段学生发展的核心素养体系.就数学学科而言，有关数学核心素养的问题也引起了数学教育界广泛的讨论，对数学核心素养的界定也众说纷纭，归纳起来数学核心素养是指具有适应现代社会发展和终身发展需要的、与数学有关的关键能力和思维品质，它以数学核心知识为载体，以培养学生数学核心能力、引导学生形成数学思维与数学态度为目的[1-2].数学核心素养是数学教学的核心与灵魂，要形成和发展学生的数学核心素养就是要教会学生数学思维，然后通过个体的独立思考和亲身体验，从而领悟数学的基本思想和方法.学习数学离不开解题，数学解题过程就是数学思维和数学思想方法应用的过程，充满着直觉和逻辑、观察与联想、猜想与推理、分析与综合等思维，是有效地促进学生数学思维能力提升的重要环节.

本文以第一作者所上的一节习题课为例，探讨在解题教学中如何提高数学思维能力进而提升学生的数学核心素养.

1 一石激起千层浪，动静思维

动静思维是数学解题中常用的一种思维方式.动和静是事物存在的两种状态，动和静是相对

案例中设置面积建模的探究环节，让学生多角度建立面积的模型，并选择合适的模型，渗透了数形结合、直观想象、数学建模；设置了直线与椭圆位置关系的探究与证明，渗透了逻辑推理、转化与化归、数学运算．数学文化在课堂上体现在从学情出发，尊重学生的认知规律、尊重学科本质，构建逻辑连贯的探究过程，在谆谆善诱的点拔和个性化指导中浸润学生的思想和心灵．

3.3 渗透数学美，设置拓展推广，落实素养提升

黑格尔说：“数学是上帝描述自然的符号.”数学教学中的数学之美体现于在数学知识的自然生成过程中感受自然之美、在展示数学方法的动态生成过程中欣赏和谐之美、在揭示数学规律的产生背景中欣赏人文之美．本案例从过椭圆上一点处切线的作法，到代数方法的逻辑推证，到过椭圆外一点作椭圆切线的探究，再到应用结论解决问题．这样全景式地展示椭圆切线问题，让学生经历了和数学家一起发现问题、思考问题、解决问题的过程，学生在参与中体验，在体验中感悟数学之美，以文化来滋养学生，培养核心素养，落实学科育人．

3.4 渗透数学应用，设置链接高考，积累基本活动经验

数学应用不仅体现在数学与生活、自然的密切关联中，还体现在应用数学思维方法解决问题的过程中．本案例设置2016年全国高考卷解析几何综合题，此题是将例题的方法推广到抛物线中，应用椭圆切线思想方法解决抛物线切线问题，重点考查了知识的迁移与应用，让学生在问题解决过程中积累基本活动经验．

4 结语

在高三数学微专题的教学中， 教师可以选择一个具有代表性和普适性的典型问题(一般是课本上的例题和习题，或高考试题等)，从知识出发，通过设置问题铺垫、解法探究、拓展推广、链接高考，构建逻辑连贯的研究主线，呈现数学知识自然产生的过程；同时，从思想方法出发，追寻数学的历史足迹、文化渊源、美学构建，从数学文化视角构建一条清晰的思想方法脉络，让学生体验到数学的本质、人文价值、理性精神，在此过程中学生感受到数学的魅力，促进数学核心素养在课堂中落地生根．

的，是可以转化的.在数学解题中，可化静为动，也可以静制动，还可动静转化和动静结合.此节课就是让学生掌握这种动静思维.上课伊始，先抛出一个学生并不陌生的问题，起到抛砖引玉的作用.

引例 已知a,b,c∈R，a2+b2+c2=1，若a+b+c=0，求a的最大值.

观察题中的表达式a2+b2+c2=1，学生很容易想到对a=-b-c平方，再利用重要不等式 2bc≤b2+c2，得到含a的不等式，解出a的范围，求出a的最大值，从而有解法1.

有的学生见到a2+b2=1，就很自然地想到三角代换.事实上，a2+b2+c2=1的三角代换与其本质相同，相当于用了两次sin2θ+cos2θ=1.于是利用三角替换法，可得到解法2.

解法2由a2+b2+c2=1及a+b+c=0，得a,b,c∈(-1,1),可设

以上两种方法是常规解法，学生都容易想到和理解.教师引导学生回顾前两种方法的共同点都是要“消参减元”，从而让学生从 “减元”入手，首先选“主元”，将方程视为b的一元二次方程，即b为主元，a为参数,于是得到解法3.

解法3由a+b+c=0，得c=-a-b，故c2=a2+b2+2ab.又c2=1-a2-b2，故2b2+2ab+2a2-1=0.(*)

数学中的常量和变量是相互依存的，并在一定条件下可以相互转化，而参变量是介于二者之间的具有中间性质的量，它虽属于变量，但又可把它视为常量.解法3就是从“b动a静”找到解题的突破口，但在解题中要注意方程(*)有实根，具体是在(-1,1)上有根，从而由Δ≥0得出a的范围，这时的a只能保证方程(*)在R上有根，故要有一个检验的过程.

教师再趁热打铁，引导学生再观察题设中的实数a，b，c.这三点满足两个等式，且都是变化的、运动着的.运动是绝对的，静止是相对的，以动静思维考虑问题，视a静，b，c动，问题解决又有了新的视角，从而得到解法4.

由已知得-10.

通过引例我们可看到，解题有常规的解法，即通性通法，但当我们用动静思维审视问题时，就可另辟蹊径，达到老树长新芽的意境.

2 识得庐山真面目，以动取胜

引例中使用动静思维找到解题的新思路，我们乘胜追击，给出一道解析几何题，尝试动静思维的再次应用.

题中有定点有动点，该如何利用呢？动和静是事物存在的两种状态，一方面动和静是相对的，是可以转化的，另一方面，可以寻求静止状态之前的运动过程，或者从运动过程中找出数学对象将会达到的相对静止的状态，特别是挖掘它运动到某个特殊点时所具有的特殊性质.在数学解题中常常就用这种“以动取胜”的方法找到解题的突破口.

图1

解法1如图1，直线l恒过定点M(0,2)，⊙M可化为x2+ (y-2)2=1.

解法2是将题目放在物理背景中来研究，更能让学生理解向量共线时，向量的模取得最大值.此方法和解法1一样，就是通过让点C动起来，从而“以动取胜”，求得问题的解.

在向量相加中，若通过平移使得表示向量的有向线段“首尾相接”，运算后会更简捷，“以动取胜”的优势会更显著.

3 柳暗花明又一村，以静制动

运动和静止都有一定的相对性，处于运动的事物其中一部分也会处于相对静止的状态.在解题中可以寻找变化中不变的条件，以此作为解题的切入点，可达到“以静制动”的效果.

例2如图2，锐角△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,a)，B(b,0)，C(c,0)，其中点B，C在y轴异侧，且3≤a≤4，BC=4，AC边上的高为BD，D为垂足，若直线OD的斜率为k，则k的取值范围是.

图2

学生容易想到的是用斜率公式求出k的表达式，但是解题过程繁琐复杂，大部分学生不易求得正确的表达式，因此只能半途而废了.教师引导学生观察图2，虽然A，B，C三点都是动点，但BC长度为4，是静的.以此静探究动点A，借助圆的知识，易确定∠BAC取最值时，点A所在位置.用 “以静制动”的思维，从而找到解题的思路.

解由∠AOB=∠ADB=90°，可知A,B,O,D四点共圆，所以∠DOC=∠BAC.由点D在线段AC上，可知点D在第一象限，故直线OD的倾斜角为锐角.当∠BAC最小时，k取最小值；当∠BAC最大时，k取最大值.

图3 图4

该题若没有运用以静制动的思维策略，由于A,B,C三点都是动的，解答过程就会有很多的困扰，就会成为学生口中所谓的难题.

4 它山之石可攻玉，动静转化

运动和静止的相互依存，同时又能借助一定的条件互相转化的哲学思想，应用在数学解题中就是要认识到数与形、常量与变量、运动与静止、变与不变等，它们既对立又统一，共处于一个统一体中，在一定条件下相互依存，一方的存在以另一方的存在为前提，并且依据一定的条件它们也可相互转化[3].

由柯西不等式，得(au+2b)2≤(a2+4b2)(u2+1),即u4≤(a2+4b2)(u2+1)，

此解法为常规的解法.若注意到a2+4b2的几何意义，可将原本关于x的等式，视为关于点(a,2b)的直线，那么x就是参数,处常数地位.通过如此动静转化，问题随即转化到原点与直线上点的距离的最小值问题.

动静的转化，使问题完全转化到另一个状态上.见到x自然会想到一个变量，见到a自然会想到一个常量，这是思维定势.然而x,a在未确定之时，均可成为变量，亦可视为常量.思维定势自然有思维上的优势，但也会带来一定的思维僵化.动静转化亦是对思维定势的打破.

南师附中葛军校长以为数学题就跟万花筒一样：“万花筒中仅几片，看到精彩纷繁仅是变，‘动则不动’繁化简.”万花筒静止了看，只有一片两片三四片.数学题也是这样，万变不离其宗.题目“摇身一变”，无非是让你多一份感受，帮助你更深刻地认识它的本质.解题中的动静思维打破了知识结构的限制，从思维层面、从辩证角度审视问题.

提升学生数学核心素养的主战场就是课堂教学.数学核心素养不是综合素养、全面素养，而是关键和少数素养，这其中数学思维能力是不可缺少的.因此，解题教学中教师要通过一题多解来提高学生思维的发散性；通过一题多变来训练学生思维的广阔性；通过一题多问来培养学生思维的深刻性；通过多题归一来训练学生思维的变通性.核心素养的落地迫切需要通过“课堂革命”来完成，需要我们“为未知而教，为未来而学”.核心素养是课程改革的灯塔.灯塔的引领常常可以让我们走得更远，但无论走到哪里，都不能偏离教学背后的人.核心素养的落地是以坚守“人本立场”为前提的[4].核心素养的提升，在课堂上，在课堂教学的改革上.