数学文化视角下微专题设计与教学——以“椭圆及其辅圆”教学为例

刘国祥 (江苏省宜兴中学 214200)

数学“微专题”设计是围绕教学关键点和疑难点、对具有紧密相关的知识或方法进行的整体设计．微专题教学具有“见微知著”的特点，能够帮助学生架构完整的知识结构、方法结构，促进学生主动参与，撬动深度学习．我校高三数学备课组在二轮复习中一直尝试穿插以“一题一课”为背景的微专题教学，效果显著．所谓以“一题一课”为背景的微专题设计，就是在一节课的教学设计中选择一个典型问题，通过对典型问题进行教材寻根、解法探究、变式拓展、链接应用环节的教学，梳理知识结构，建构方法体系，促进学生积极主动地学习，提升学生的核心素养．

《普通高中数学课程标准(2017年版)》指出：数学文化是指“数学的思想、精神、语言、方法、观点，以及它们的形成与发展；还包括数学在人类生活、科学技术、社会发展中的贡献与意义，以及与数学相关的人文活动”．《关于2018年普通高中考试大纲修订内容的通知》中增加了数学文化的考查要求.在高考试题中渗透数学文化，能正确引导中学数学教学关注数学文化，将数学本质教授给学生．如何在高三微专题的设计与教学中渗透数学文化，提升学生的核心素养，是值得关注的话题．本文以“椭圆及其辅圆”微专题教学为例来说明数学文化视角下的微专题设计与教学．

1 问题呈现

图1

问题解读 本题为引入新定义的题型，给出椭圆辅圆的定义及性质，以直线与圆、直线与圆锥曲线关系为考查背景，重点考查学生的阅读理解能力、数学建模能力以及逻辑推理能力，让学生经历从特殊到一般的数学问题探索过程，问题解决体现了数学的理性精神．

学情分析 学生解答本题的困惑：对椭圆的辅圆定义理解表层化；对椭圆及圆生成过程的逻辑关系理解不到位；对三角形面积建模不合理；不会用从特殊到一般的思路来探究直线与椭圆的位置关系并给出证明．

价值分析 本题的背景是数学名题——用尺规法作椭圆切线．利用“典型题”设计课堂教学，不仅可以让学生体会到数学思想方法在解题中的地位和作用，而且可以让他们体会到数学知识是立体的、相互联系的，体现数学文化的无穷魅力，促进学生思维的发展及智慧的涵养．

2 教学设计

2.1 教材寻根，渗透史料

数学教材隐含着丰富的史料，将散落在教材各处的史料整合重组成课程资源， 让学生了解概念的形成背景和历史条件，建构研究一类问题的思想方法，同时还具有丰富的育人价值．

问题铺垫1(苏教版选修2-1第31页例2)：将圆x2+y2=4上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得曲线的方程．

问题铺垫2(苏教版选修2-1第38页探究拓展15) ：椭圆可以视为对圆上的点向同一条直径施行伸缩变换而成，应用椭圆和圆之间这种关系，你能依据圆的面积公式来猜想椭圆的面积公式吗？

问题铺垫3(苏教版2-1第38页第12题)：已知圆柱的底面半径为4，与圆柱成30°角的平面截这个圆柱得到椭圆，求椭圆的离心率．

2.2 解法探究，渗透思想

师：正确理解辅圆定义是解答第(1)问的关键，依据定义探究椭圆方程．

师：正确理解辅圆性质是解答第(2)问的关键，设椭圆上任意一点P(x0,y0)，则点P的上辅点Q的坐标是什么？如何证明？

评析数学语言是数学文化的重要组成部分，正确理解数学语言是学习数学文化的重要途径，我们需要培养学生阅读文本、提炼数学模型的能力．在阅读中首先关注特殊情况，然后推广到一般情况，理解题意并找出问题的根源取决于推理能力的强弱．

师：依据本题条件如何合理表征△OPQ的面积？

评析处理面积问题的关键是依据问题特点建立适当的模型.三角形面积表示方法体现了多样性和灵活性，课堂上要放手让学生去探究，引导学生从多角度思考问题，然后依据问题特点选择最优方案．

师：本题是一个开放题，结论如何寻求？

师：请设计证明结论路线图.

生5：设点Q(x0,y0)→切线QT方程→求出T的坐标→直线PT的方程→利用判别式Δ证明PT与椭圆相切．

评析本题呈现开放性试题的命题思路，不在题目中限定结论，给学生留下思考、分析、判断的空间；通过特殊化猜想结论，通过逻辑推理来验证猜想，体现了研究性学习理念，考查考生的理性思维．同时通过探究，构建了证明切线的两种思路，促进了方法体系的构建．

2.3 拓展推广，渗透数学美

图2

评析本题的命题背景为过椭圆上一点处切线作法的合理解释.将问题从具体事例推广到一般情况，展示了数学方法的生成过程，使数学教学过程成为发现、创造数学的过程，让学生学会欣赏数学的简洁美．学生不禁会提出问题：如何过椭圆外一点作椭圆的切线？

性质2从焦点F1作椭圆在点P处的切线的垂线，垂足为点A，则点A在辅助圆上．

背景史料：阅读苏教版2-1第58页“圆锥曲线的光学性质”，体会圆锥曲线光学性质在生活中的广泛应用．

探究1 设F1,F2分别是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任意一点，则从F1出发的光线经过椭圆在P处的切线l反射后的反射光线经过点F2吗？

生6：作点F2关于l的对称点F2′，只要用反证法证明F1,F2′,P三点共线．

图3

探究2 从焦点F1作椭圆在点P的切线的垂线，垂足为点A， 则点A在辅助圆上．

生6：作F1关于切线的对称点C(图3)，因为BA为椭圆切线，所以C,P,F2共线，CF2=CP+PF2=PF1+PF2=2a，则OA=a．

同样，利用该结论可以过椭圆外一点P作椭圆的切线，即以PF1为直径的圆与辅助圆交于点E,D，则PE,PD为椭圆的切线．

评析从教材阅读材料中提炼出数学结论，让学生体会数学结论在实际生活中的运用；同时培养学生以理性观点看待结论，探究问题背后的原因，用平面几何知识和反证法不难证明．利用性质2解决用尺规法过椭圆外一点作切线的问题．这样的过程能引导学生用数学眼光看待世界、用数学思维分析世界，打造数学和生活的联系，使数学知识得到活化．

图4

评析变式拓展题从另外一个角度作椭圆切线，可以看做应用结论解决问题．

2.4 链接高考，渗透应用

前面给出了用尺规法作椭圆上一点处的切线和过椭圆外一点作椭圆切线的原理，其他圆锥曲线是否有与本题类似的结论？这一问题引发了学生的拓展性思考．

链接高考(2016年全国Ⅰ卷第20题)：如图5，在直角坐标系xOy中，直线l：y=t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2=2px(p>0)于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交抛物线C于点H．

评析本题从抛物线外一点通过尺规作图的方法作抛物线的切线，这一过程紧贴学生的最近发展区，容易激发学生探究知识的好奇心．教学生学会学习的关键是对学生的学习进行方法引领，只有学生觉得方法是有用的，才能引发出情感共鸣，进而提升核心素养．

3 教学启示

3.1 渗透史料，设置问题铺垫，优化知识结构

数学史料呈现了古今中外知识发展演变的真实过程，追溯问题的来龙去脉，体悟问题解决的曲折艰辛，蕴含了重要的育人价值．在微专题设计中要从学生的认知基础出发，分析学生的知识薄弱点、思维障碍点，把优化知识结构作为设置问题铺垫的起点.教材有丰富的数学史料，是高考命题的依据，可对教材的例题、习题、复习题、探究与发现、阅读材料中蕴涵的史料进行全面梳理，重新组合设计成针对性强的问题铺垫， 建构完整知识结构．如本题通过三个问题铺垫呈现椭圆与圆之间统一性的三个史料，椭圆性质可以通过类比圆的发现和推证，建构起解决椭圆与圆问题清晰的“路线图”．

3.2 渗透思想，设置问题探究，提升高阶思维能力

著名数学家柯朗指出：“数学思想，作为人类思维表达，反映了人们对缜密周详的推理以及对完美境界的追求．它的基本元素是：逻辑与直观、分析与构作、一般性和个别性，正是这些相互对立的力量的相互作用，构成了数学科学的生命、用途和崇高价值．”微专题教学不仅要重视知识、技能，更要领悟数学的思想，经历数学的思维分析过程，以数学思想为魂统领复习，提高高阶思维能力．本