指向学生数学思维素养发展的教学实践与思考*

蒋智东 (江苏省黄埭中学 215134)

1 认识理解

1.1 对数学思维素养的认识

《普通高中数学课程标准(2017年版)》提出数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算与数据分析六大数学学科核心素养．[1]其中，直观想象是指借助于几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养，体现了形象化特征的数学思维；数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养，体现了形式化和结构化特征的数学思维．直观想象和数学抽象是数学思维两种最基本的形式，体现了认识事物和理解数学的思维特征．通常我们先通过直观想象的方式来感知和理解事物及其规律，然后再通过数学抽象来获得“数学概念和规则，提出数学命题和模型，形成数学方法与思想，认识数学结构与体系”[1]．通过数学抽象又能更加深刻地理解和把握事物及其规律的本质．直观想象是数学抽象的基础，数学抽象是直观想象的发展，两者辩证统一地存在于数学学习的过程中，是数学思维发展过程中的两种最基本的素养，我们称之为数学思维素养．[2]

1.2 对发展学生数学思维素养的认识

学生数学核心素养发展的关键是要在具体的数学教学活动中来落实．一个数学教学活动通常包含着多种核心素养的发展，但这些核心素养的发展往往并不同步，而是有所侧重的．

数学知识的教学是最基础也是最根本的教学，一般表现为三个基本环节．一是了解知识的来源或背景，根据学生的现实经验和已有认知通过问题探究来实现知识的认知．这一环节常常伴随着直观感知、模型想象的思维活动过程，指向“直观想象”素养的发展．二是数学知识对象的抽象．在对数学对象原型(或模型)直观想象的基础上抽离数学对象的本质，并用符号等数学方法进行表示，建立对数学对象的认识．这一环节指向了“数学抽象”素养的发展．三是形成数学知识，理解并加以应用．围绕数学对象本质进行基本的应用，形成完整的数学对象模型，建立起对数学对象比较完整的认识和理解．数学知识的教学中突出体现了数学直观和数学抽象之间辩证的综合发展过程．

2 实践落实

数学知识的教学是数学思维素养发展的前提和基础．我们需要在上述三个环节基础上不断丰富课程内涵设计，将自己对数学知识的认识和理解转化为个性化的教学行为，为发展学生的数学思维素养提供具有可操作性的方案．

2.1 教学中数学概念和规则的获得

·概念是在对概念对象图形感知或模式识别的直观认知基础上抽象获得的

教学案例1弧度制

弧度建立在扇形圆心角基础上，从圆心角、弧长、半径三者的关系中可分析抽象出描述圆心角大小的概念．设计一个既包含圆心角、弧长及半径又符合学生认知规律的情境引入新课．

图1

问题情境：按照国际标准，学校铅球场地投掷区是一个圆，落球区是一个以圆心为顶点的角(根据比赛对象的不同，在角内画出多条弧线)，如图1．

问题1 在只有皮尺的前提下，测算出这个角的大小．

铅球比赛是学生比较熟悉的情境，提出的问题学生也比较容易联想到扇形中的弧长公式，达到了通过情境引出问题的效果．此环节中学生经历了问题刺激进行模型想象以及对n的近似值进行分析推理的思维活动．

问题2 各组测量的弧长l及相应半径r的值均不同，为什么算得n的值却都相同？

问题3 在上述认识基础上，大家还有什么进一步的想法？

·规则是在对相关数学对象关系规律的直接感知基础上抽象获得的

教学案例2平面向量的坐标表示

师：向量学习过程中，哪些内容涉及实数？

通过对向量概念和相关定理的回顾，学生感悟到平面向量作为一个几何对象，它与实数(对)一直有着紧密的联系．

问题1 已知向量a,b，夹角为60°，且|a|=2，|b|=3，|c|=6，向量c与a,b夹角均为30°，若c=λa+μb，则实数λ=，μ=．

问题2 已知向量a,b满足a⊥b，且|a|=2， |b|=3，|c|=6，向量c与a,b夹角分别为60°和30°，若c=λa+μb，则实数λ=，μ=．

通过上面两个问题，学生感悟到向量c在不同基底下的分解不同，从计算角度看，正交分解明显优于非正交分解．选择倾向已经在学生头脑中逐渐形成，完成对规则的第一次抽象．

问题3 将问题2中的向量a,b都改为单位向量，其他条件不变，则实数λ=，μ=．

此时，λ和μ的特征已经非常明显，通过直观感知，向量c=λa+μb与点C(λ，μ)之间的一一对应关系已经让向量c的坐标呼之欲出，用数对(λ，μ)表示向量c已经水到渠成，完成第二次抽象，规则形成．

问题1到问题3，不断扩大内涵、缩小外延，进行逐级抽象．三个问题间具有逻辑关联，使得学生在生成平面向量c对应的坐标(λ，μ)的过程中不仅明确了向量坐标的“身世”，也明确了确定向量坐标的规则，达到了对平面向量的坐标的认识和理解．

2.2 教学中数学命题和模型的提出

·命题是对数学对象的关系特征感知基础上抽象概括而成的

教学案例3平面向量基本定理

·法则(模型)是对具体算式中所蕴涵模式的直观认知基础上抽象概括而成的

教学案例4两角差的余弦

2.3 教学中数学方法与思想的形成

数学抽象的一个重要产物是数学方法与思想的形成．数学方法与思想蕴含在数学抽象过程中，可以加深对数学抽象的理解．上面“两角差的余弦”不仅要求学生抽象出公式的特征和本质，而且要让学生参与到公式的形成与证明过程中，通过这一公式了解此类知识研究学习的“套路”，这里的关键便是数学方法与思想的运用．立足学生数学抽象能力的培养，渗透相应的数学思想与方法，真正认识并形成数学抽象的思维方式[3]，最终使学生领会到数学地认识并解决问题的思想方法．

2.4 教学中数学结构与体系的认识

数学抽象的一个更高水平是形成数学结构与体系．“两角差的余弦”这节课借助数学抽象得出公式、应用公式的过程，让学生看清了数学知识的发生和发展过程，也就是知识的“来龙去脉”．

图2 图3

整节课的抽象过程既展现出知识的来龙去脉，又展现出知识的升华拓展，更有方法的延续，为学生的探究留下了足够的机会和空间．两角差的余弦公式作为三角变换的第一个公式，是后续变换研究的基础．在cos(α-β)=cosαcosβ+ sinαsinβ中，将“β”换成“-β”就得到cos(α+β)=cosαcosβ- sinαsinβ，进而通过诱导公式就可以得到两角和的正弦公式．在此基础上，进一步得到二倍角的三角函数公式，直至积化和差公式、和差化积公式，由此形成三角变换的系统．

3 思考建议

(1)深入理解数学知识的本质——培养学生直观想象与数学抽象的基础

知识是数学素养的生成本源[4]．首先，教师应该结合数学知识在学科体系内的地位和作用，通过对知识的文本解读弄清知识的特征、要素和关系，增强对知识本质的认识和理解，比如弧度制要从圆心角、对应弧长和半径三者关系入手来研究，为什么要引入平面向量的坐标表示，平面向量基本定理“基本”在哪里等．其次，教师应该加强对数学知识所能体现的数学素养的思考和分析，从前面所述的教学三环节的角度来研究认识知识的结构，依据知识间的内在逻辑将知识由具体到抽象逐级呈现，使学生能够充分感受到数学抽象的过程，并在此过程中建构对知识的认识、领悟知识的本质．

(2)设计有效的数学探究活动——培养学生直观想象与数学抽象的载体

学生的抽象经验需要在探究活动中积累，抽象能力需要到探究活动中发展，数学抽象素养需要在数学抽象经验的积淀和升华中培养．[5]数学探究活动的设置要与数学思维的培养相适应，要基于数学思维培养的阶段性特点．在认识数学对象来源阶段，提供直观感知、模型想象等思维活动的情境或素材，发展学生的直观想象素养．在数学知识对象抽象阶段，探究活动与问题设计要立足学生认知水平和认知规律，充分展示知识的生成过程，在促使知识内化的过程中，形成相应的数学方法与思想，培养学生的抽象能力，引导学生逐步抽象概括出数学对象的特征要素和关系，建立对数学知识的认识和理解，形成数学的思维方式，培养学生的数学思维素养．

(3)领悟教学内容中的数学方法与思想——培养学生直观想象与数学抽象的核心

学生能够领悟蕴涵在知识中的数学方法，形 成理解和分析问题的学科思维能力是数学核心素 养生成的最高表现．[6]首先，教师要在对知识的理解基础上，将相应的数学方法与思想“镶嵌”在知识 的教学中．这种“镶嵌”就是要通过情境或问题设置，尽量让学生在自主探究的思维活动中能够捕捉到．学生在数学思想方法基础上，可以进一步提高数学抽象能力，加深对知识的认识与理解．其次，教师要在对直观想象和数学抽象认识的基础上，帮助学生积累形成数学思维能力的数学方法与思想．如联想与概括、特殊到一般、数形结合、化归与转化等． 借助知识特征及相应的数学方法与思想，不断提升数学抽象的层级和水平，逐步完善知识的建构与理解．

数学思维素养是数学核心素养基础层面的素养，是按照数学方式来认识事物和理解数学的思维品质，体现了“会用数学眼光来观察世界”的思维性目标．数学思维素养的发展一定是要建立在数学知识的学习和理解之上，无论是传统的“双基”还是新课程之后的“四基”，数学知识的教学都是最基础的教学活动，它既体现了直观想象和数学抽象的认知活动，也体现了数学思维素养的发展过程，可以提高发展学生数学思维素养的有效性．因此，数学知识的教学应该聚焦于学生数学思维素养的发展．