DIMA平台下高中函数图象教学要注意解析性与几何性的一致性*

朱伟卫 (上海市徐汇区教育学院 200032)

函数图象的几何直观是整体认识函数概念的重要角度．这是因为函数图象的特征反映了函数重要的基本性质，所以掌握了函数图象的特点，基本上就掌握了函数的基本性质．函数图象具有直观性，它能够帮助我们建立想象、理解抽象的概念，寻求解决问题的思路．函数图象的教学能够帮助学生形成数形结合思想，能够较好地提高学生的直观想象能力，也能够提高学生的逻辑推理能力，是培育学生数学核心素养的重要载体．

DIMA是“基于现代信息技术的数字化数学活动”的简称，由数字化(Digitization)、信息技术(Information technology)、现代(Modern)和数学活动(Mathematics activities)的英文首字母组合而成．“DIMA平台”是指以计算机、计算器为支撑，拥有智能软件和丰富课件，连接信息网络的，能够开展现代信息技术的数字化数学活动的数学教学软硬件设备系统．[1-2]DIMA平台使得函数作图变得方便快捷，并且可以构建一种动态环境，为学生利用图象直观研究函数性质提供了有力工具．因此，教学中应注意充分发挥函数图象的作用，让学生自己作出函数图象，通过观察图象变化规律来研究函数的性质．但是，函数图象的得到却又不是一件轻而易举的事情，即使是利用现代信息技术作图也会存在问题．对于一些比较复杂的函数，我们需要通过对函数进行解析研究来得到函数的定义域、值域、对称性、奇偶性、凹凸性、拐点、渐近线、极值、最值、有界性等，只有清楚地研究出这些性质才能较为准确地画出函数的图象．可见，函数图象的解析性与几何性都是认识函数的基本内容．

本文拟对DIMA平台下高中函数图象教学的解析性与几何性进行探讨，并提出要注意函数图象的解析性与几何性的一致性问题．

1 充分利用DIMA平台作图功能

1.1 发挥验证展示功能

笔者曾经让一些青年数学教师做一个非常“简单”的问题：

几乎所有人都画出了图1的形状，但实际上这个函数的图象应该画成图2的样子．可见，计算机的精确作图能给我们起到很好的验证作用．

图1 图2

出现错误的原因是教师没有注意到函数的凹凸性．现行高中教材并没有定义函数的凹凸性，教师出现这种错误似乎情有可原，但如果教师在描点的时候能够稍微细致一点，这个问题就可以得到很好的解决．其实，函数的凹凸性在解决一些问题时是极为重要的．

下面再给出一个因为处理函数凹凸性不当而带来的错误解答．在一次自主招生辅导课上，我给学生布置了一道多元函数的最值问题：

可见应用琴生不等式的前提条件不存在，因此上面的证明是错误的．

此外，DIMA平台可以通过函数解析式直接得到函数图象，或者根据图象直接拟合出函数解析式.这对于展示函数图象并据此得出函数性质非常方便．

1.2 发挥动态演示功能

DIMA平台动态演示功能的特有优势是具有交互性、直观性和运动性．DIMA平台可将教学内容以多媒体的形式形象生动地表现出来，图像、动画逼真，有助于师生互动．运用计算机可以演示那些用语言难以表达的、变化过程复杂的或用肉眼看不见的教学内容，使学生很好地明白其内在规律．这弥补了传统教学在直观感、立体感和动态感等多方面的不足，能够取得传统教学无法比拟的教学效果．

2004年5月人民教育出版社出版的《普通高中课程标准实验教科书(必修)数学1(A版)》封面上展示了电脑屏幕上三个函数y=x2,y=2x,y=log2x的图象，反映了这三个图象之间的关系．进一步地，我们有个常规的经典问题：互为反函数的指、对数函数f(x)=ax和g(x)=logax的图象有几个交点？

我们借助DIMA平台的动态演示功能，通过设定参数，演示动画，容易得到一些结论：

图4

当0

2 DIMA平台作图的局限性

DIMA平台作图有着传统徒手作图无法比拟的优势，特别是在对函数性质不十分明了时更有其独到的“本领”，但也有不完善的地方．

2.1 容易忽视重要细节

被忽视细节的函数图象有时会失去一些关键的信息，比如渐近线、孤立点等信息，这些信息是准确画出函数图象的重要细节．由此造成的后果是容易出现用特殊代替一般、用图形直观代替数学推理的武断行为，对培养学生的严谨品格不利．

图5

(A)b<0且c>0 (B)b>0且c<0

(C)b<0且c=0 (D)b≥0且c=0

解答本题可以先画出函数f(x)的图象(图6)．再令f(x)=t，则“方程f2(x)+bf(x)+c=0有7个不同实数解”等价于“t2+bt+c=0有一正根、一零根2个不同实数解”．根据根与系数的关系得b<0且c=0，故选C．

图6 图7

在这个问题中，画出的图象应该要多出一条渐近线(图7)，而要使关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7个不同实数解，则关于f(x)的方程f2(x)+bf(x)+c=0有一个在区间(0,1)的正实数根和一个零根．故c=0,f(x)=-b∈(0,1)，即-1

2.2 可能忽视作图过程

随着技术的进步，DIMA平台作图已经非常简便快捷，即输即得、运动变化等操作已不是技术障碍．但也正因如此，有时候容易使得作图过程得不到很好的展示，特别是复杂图形的处理几乎可以不用展示作图过程而直接得到图象，失去了一些学习函数知识的好机会．

2.3 容易受到技术限制

有时候，因为图形画得不够完整，或者观察图形不够仔细，或者图形的选择不够合理，或者画图选用了不合适的比例，或者DIMA平台分辨率不够，又或者工具软件使用不够熟练，使得DIMA平台作图也容易因为一些失误而带来误判．

图8 图9

2.4 难以辨别海量数据

DIMA平台的运用经常伴随着海量的数据．怎样在海量数据中寻找有用数据、发现本质规律、进行合理分析，是达成教学目标的重中之重．

3 DIMA平台下函数图象解析性与几何性的一致性教学

华罗庚先生曾这样描写数与形的关系：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞．数无形时少直觉，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非．切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离．”这段话反映出“数形结合”的本质是几何与代数的统一，很好地描述了函数图象解析性与几何性的一致性，值得我们仔细品味．

3.1 函数图象教学传统处理方式的优缺点

(1)传统处理方式平衡点的把握是科学的

函数图象教学的传统处理方式主要有三种．一是“由图象到性质”，主要体现在不便于在相应年级学习阶段进行解析研究的一些函数性质的教学中．如初中函数图象的教学、高中的指数函数和对数函数的图象教学等．教学时一般需要先画出图象再根据图象来初步研究函数的性质．二是“由图象到概念”，主要体现在利用简单函数的图象引出函数的基本性质等概念．如函数奇偶性、单调性、最值等概念的引入．其特点是从特殊到一般的归纳，为对函数的解析研究奠定理论基础．三是“由性质到图象”，体现在研究函数解析性质的基础上得到函数的图象．如幂函数、正弦函数、余弦函数等图象的教学．这是在明确了函数基本性质的研究内容和方法后，通过解析研究(或者部分的解析研究)并确定函数基本性质的基础上利用描点法得出图象．

函数图象教学传统处理方式已经充分考虑到不同知识教学的需要，既能适时根据函数的解析性质准确地分析函数的图象特征，又能合理借助函数图象直观地揭示函数的解析性质．但是对于一些复杂函数的图象教学，传统的处理方式的确能够做到严谨严格，却缺乏一些DIMA平台的动态展示的灵气，对探究发现带来了一定的障碍或困难．

(2)过分倚重图象的几何性是突出的

在实际教学中，由于从初中以来研究函数时更加侧重“由函数图象得到函数性质”，从而造成一个典型误区：学生对“数形结合”的认识明显侧重“以形促数”“数难则形”却忽视了“以数解形”的同等地位，同时容易掩盖“形”的缺点与不足，导致学生不能辩证地认识“数形结合”．[4]

不仅如此，在函数教学中，由于过分倚重函数图象，掩盖了“形”的不足，从而导致命题失误和和解题过程不严谨的例子也不鲜见．

3.2 DIMA平台下图象教学要追求解析性与几何性的一致性

《课标》[5-6]鼓励学生运用信息技术学习、探索和解决问题．例如，利用计算器、计算机画出幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等图象，探索、比较它们的变化规律，研究函数的性质，求方程的近似解等．在DIMA平台上完成这些要求时，我们既要充分利用DIMA平台作图功能，又要注意DIMA平台作图的局限性，这就需要追求解析性与几何性的一致性．

(1)描点作图仍然需要

函数图象的定义最初出现在初中教材：“一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．”教材还指出“通过图象可以数形结合地研究函数”．人民教育出版社、课程教材研究所和中学数学教材实验研究组编写的《普通高中课程标准实验教科书(必修)数学1(B版)》(2004年5月)第41-43页：把集合F={P(x,y)|y=f(x),x∈A}叫做函数y=f(x)的图象．并指出“画函数的图象是学数学必须掌握的一个重要技能”，“要养成画图的习惯，并会利用函数的图象来理解函数的性质．”

我们的实践表明，为了更好地让学生熟练掌握函数图象，即使在DIMA平台下，在起步阶段，仍然应该对描点作图进行必要的训练，为学生徒手作图奠定坚实的基础．因为这既是理解函数图象概念的需要，也是确认函数图象应用的需要，更是理解DIMA平台作图的数学原理的需要，只有这样才能让学生确信DIMA平台作图的真实性，才能对图象的得到更加信服并积极加以应用，才能对DIMA平台作图不仅知其然更知其所以然．

训练时可以给出一些函数，学生先动手画图，然后与电脑作图进行对比．结果其实并不重要，重要的是在作图过程中让学生思考如何能把握每一种函数图象的变化趋势、它们的相同以及不同点．

(2)图象教学要追求解析性与几何性的一致性

函数图象的几何性与解析性成为理解函数概念的两个侧面.这个辩证关系说明，只有图象的解析性和几何性并重才能完整准确地刻画函数的性态，才可以在解题过程中相辅相成地应用．

教学时可以采用以下策略．

一是在得出图象时，不仅要在DIMA平台上展示函数图象，而且在必要时应该研究函数的解析性质，包括函数的单调性、极值、凹凸性、渐近线等，以体现图象的精准性．如果是通过DIMA平台利用图象变换得到函数的图象，务必要先明确哪种基本初等函数的图象是变换的基础，然后弄清变换的过程，既有动态的演示又有解析的推演．注意不同的代数变形可以给出不同的几何变换的解释，这是体现图象解析性与几何性很好的机会．

例如，用图象变换的方法得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,φ>0)的图象：由t=ωx+φ得到x的过程有两种方法，每种方法分别得到一种图象变换的过程，也就是由t到x的两种几何解释．

图10 图11

另一个是在应用DIMA平台下函数的图象解决问题时，要充分发挥图形的直观、形象、变化的作用，更要注意画图的准确性、完整性和对图形观察的细致性，必要时应结合数学运算通过解析研究来完成．这时要注意：图形特征是否具有一般性？所使用图象的几何特征的解析依据是什么？ 只有从“数”的角度研究解析性质才能作出严谨正确的判断，仅靠图象是难以“入微”的．充分发挥“数”“形”的各自优势弥补各自缺陷，由数到形、由形到数，做到数与形的双向沟通．

图12

图13 函数f(x)在(0, 1)上不是严格的凸函数或凹函数

图14 x∈(0, 1)时，f(x)图象在过点A的切线下方

总之，函数的解析研究可以严格论证函数的性态，虽然不够直观却体现着函数图象的解析性；函数的图象研究是根据有限个点画出函数图象，尽管不够严谨但形象直观、易于理解，体现着函数图象的几何性．我们不能只是片面地强调解析性忽视几何性，或者片面地强调几何性而忽视解析性．DIMA平台下函数图象的教学既要注意用解析性论证几何性，也要注意用几何性探究解析性，保证解析性与几何性的一致，同时注意应用的灵 活性．