基于数学核心素养的概念教学——以“抛物线及其标准方程”教学为例*

赵天玺 (安徽省界首第一中学 236500)

《普通高中数学课程标准(2017年版)》(下称《标准》)指出:“基于数学学科核心素养的教学活动应该把握数学的本质，创设合适的教学情境、提出合适的数学问题，引发学生思考与交流，形成和发展数学学科核心素养.”数学是思维的科学，概念是思维的细胞，概念教学是培养学生数学核心素养的重要载体.本文以北师大版教材“抛物线及其标准方程”教学为例谈谈笔者的做法，不妥之处恳请同行斧正.

1 教学过程

环节1创设情境，引入概念

情境1 播放PPT让学生欣赏铅球运动轨迹、喷泉、烟花等图片.

设计意图让学生了解抛物线几何图形的背景，产生对抛物线的直观感受.

情境2 问题1：平面直角坐标系中二次函数的图象是抛物线.旋转函数图象，旋转后的抛物线还是二次函数图象吗？究竟什么是抛物线？

设计意图概念教学要讲必要性.二次函数的图象旋转后得到的抛物线不一定是二次函数的图象.什么才是抛物线的本质，问题的提出引发了学生探索抛物线概念的渴望.

图1

情境3 兔子逃跑问题：如图1，一只贪吃的兔子为了吃到更肥美的青草，冒险来到这片危机四伏的草原，好在这里也有避险的地方，一个是右侧的洞穴，一个是左侧的树林.当危险发生时，兔子选择什么样的逃跑路线才能以最快的速度抵达安全地带？本着就近避险的原则，请在草地上作一个边界，使得位于边界一侧的点到树林避险，位于另一侧的点到洞穴避险.

师：这个边界上的点满足什么样的条件？

生：到洞穴和树林的距离相等.

师：如果把地面看作一个平面，树林的边界和洞穴可以分别看作什么？这个问题可以转化为一个什么样的数学问题？

生：一条直线和一个点.可以转化为在平面内找到定点距离和定直线距离相等的点的轨迹.

师：很棒！要补充说明一下，这个定点是在直线外.

设计意图引导学生用数学的眼光观察现象，发现问题.“兔子逃跑问题”来源于动画片，有很强的趣味性，更重要的是它使抛物线概念的生成更加自然，同时也发展了学生的数学抽象和数学建模素养.

环节2操作探究，构建概念

师：我们把这条定直线记作l,定点记作F，请同学们在草稿纸上试着找出一些满足条件的点，看看点的轨迹大致是什么形状.

(几分钟后)

生：很难找.除了F到l垂线段中点外，其他的点只能目测，很难准确地画出来，轨迹大致是一条曲线.

图2

师：为了准确地画出这个轨迹，请拿出我给大家准备的工具(画板、直尺、三角板等).把直尺固定在画板上当作直线l，把三角板的一条直角边紧靠在直尺的边缘，把细绳(长度与另一直角边相等)的一端固定在顶点A处，另一端固定在画板上钉子(点F)处.用铅笔尖(点M)扣紧绳子，靠住三角板.如图2，你有什么发现？

生：点M到点F及直线l的距离相等，点M在轨迹上.

师：很好.请同学们将三角板沿着直尺上下滑动，笔尖在画板上描出轨迹的一段.

(学生四人一组，合作操作)

师：当三角板下滑到钉子处，下移不动了，怎么办？

生：把三角板往下翻转，就可以画出下面一段轨迹.

师：真聪明.根据操作过程，轨迹上半部分和下半部分有什么关系？

生：关于过点F和直线l垂直的直线对称.

设计意图通过合作操作培养学生的团结协作意识，在活动探究中发现轨迹的轴对称特征，让学生体验成功的喜悦.

图3

师：很好！同学们画出的轨迹是什么形状？

生：一条向右弯曲的曲线.

师：为了清晰完整地展现轨迹形状，我们用GeoGebra动画展示作图过程(图3).

设计意图动态演示让学生对轨迹有更加直观、精准的认识，为概念的抽象做好充分的准备.

师：如果将轨迹顺时针旋转90度，像什么曲线？

生：开口向下的抛物线.

师：很好，其实轨迹就是一条开口向右的抛物线.根据抛物线的画法，请同学们给抛物线下个定义.

生：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的集合叫作抛物线.

师：用集合语言还可以表示为，{M||MF|=dl},dl是M到定直线l的距离.定点F叫作抛物线的焦点，定直线l叫作抛物线的准线.

设计意图概念教学要注重生成过程.通过学生合作操作画抛物线，发现其几何特征，抽象概括出抛物线的定义，并用文字语言和集合语言予以表征，提升直观想象和数学抽象素养.

思考1 如果直线l经过点F，那么平面内到定点F和定直线l距离相等的点的集合还是抛物线吗？

生：不是，是过点F且与直线l垂直的直线.

师：对！因为l过F时，其轨迹不是抛物线，所以定义中一定不能忽略“l不过F”这个条件.

设计意图思考1的目的是进一步深化对概念的理解，完善概念.

思考2 观察图4，你能用数学语言来描述吗？

图4

生：过定点和定直线相切的动圆圆心轨迹是抛物线.

设计意图思考2是在定义生成之后，一次抛物线概念的直接应用，目的是再一次在学生脑海中生成集合 {M||MF|=dl}的曲线特征，提升直观想象素养.

环节3选轴建系，求得方程

问题2：根据椭圆标准方程的构建过程，求曲线方程的一般步骤是什么？如何求抛物线方程？

生：(1)建系；(2)设点；(3)列式；(4)化简；(5)证明(可省略).

师：类比椭圆，如何建立坐标系才能使所得到的抛物线的方程更简单？由于焦点F到准线l的距离为定值，不妨设为p(p>0)，即KF=p(K为垂足).

生：以曲线的对称轴为坐标轴建立直角坐标系求得的曲线方程简单.因为抛物线关于KF对称，所以直线KF可以作为x轴.

师：不错，关键是y轴怎样确定，即坐标原点O怎样确定.

经过讨论，学生有代表性的建系方案共三种(方案1、方案2、方案3分别对应图5、图6、图7)，学生对应地分成三组求曲线方程.

图5 图6 图7

设计意图让学生经历建系求曲线方程的过程，用代数语言描述抛物线，提升数学建模和数学运算素养.教材只给出了一种建系方式，但学生在建系时可能不止一种.三种建系方式都是自然合理的选择，体现了以学生为主体的教学理念.

三组学生得到的抛物线方程分别为y2= 2px-p2(p>0)，y2=2px(p>0)，y2=2px+p2(p>0).教师用同屏软件将得到的曲线方程投影到一体机大屏幕上.

设计意图信息技术的应用使不同小组的学生能及时交流推导的结果，提升了课堂教学效率，也是对传统教学模式的一种改进.

师：上述结果是否都对？为什么？你认为哪个最好？

生：都对.因为建立的坐标系不同导致的方程不同，第二个方程最简单、最好.

师：方案2求得的抛物线方程y2=2px(p>0)比较简洁，我们把它叫做抛物线的标准方程.

设计意图概念教学要讲合理性.让学生在比较中体会哪种建系方法得到的方程简单，理解y2=2px(p>0)作为抛物线标准方程的原因，让学生知其然并知其所以然.

设计意图分析标准方程的要素和形式，加深对标准方程的理解和记忆.

问题3：类比椭圆的标准方程中不同的参数对应不同形状的椭圆，抛物线的标准方程y2=2px(p>0)中只有一个参数p，它是如何影响抛物线形状的？

图8

师生交流，最后教师用GeoGebra演示由p的值从大变小而得到不同形状的抛物线，其开口也从大变小，当p=0时轨迹是一条直线，不再是抛物线(图8).

设计意图利用信息技术了解参数p对抛物线的影响，加深了对解参数p本质的认识，深化对抛物线标准方程的理解.

环节4思考交流，深化提升

问题4：在求椭圆的标准方程时，由于焦点的位置不同，我们得到了不同形式的标准方程.对于抛物线的标准方程，除了开口向右的还有哪些不同的形式？请思考交流并填写表1.

表1

设计意图进一步掌握抛物线的另外三种标准方程，培养类比推理和知识迁移的能力，提升逻辑推理素养.

环节5例题解析，巩固概念(略)

环节6课堂小结,积累经验(略)

2 教学思考

章建跃博士指出：“教好数学就是落实数学学科核心素养.”数学教学的核心是概念教学，做好数学概念教学是落实数学核心素养的关键所在.笔者认为基于数学核心素养的概念教学应做到以下几个方面.

(1)在概念的引入中发展核心素养

概念的引入是概念教学不可缺少的重要一环.在概念引入环节，教师应创设合适的问题情境，引导学生用数学的眼光观察现象、发现问题，激发学生进一步探索概念的兴趣.笔者通过三个情境，特别是情境3“兔子逃跑问题”，自然地引入了抛物线概念，同时也提升了学生的数学抽象和数学建模素养.

(2)在概念的生成过程中发展核心素养

“思想”是概念的灵魂，是“数学素养”的源 泉，“过程”是“思想”的载体，概念教学的核心应 当是在概念的形成过程中培养学生的数学核心 素养.因此教师应深入研究概念的来龙去脉，正 确把握概念的本质属性，挖掘概念背后所蕴含的数学思想方法，提出合适的数学问题，设计合理的探究活动，在概念生成的过程中发展学生的数学核心素养.笔者通过一系列的问题和思考，引导 学生在合作学习、操作探究过程中发现抛物线几何特征，抽象概括出抛物线定义，发展了直观想象和数学抽象素养.通过学生选轴建系和推导抛物线方程的过程，发展了数学建模和数学运算的素养.

(3)利用信息技术发展核心素养

《课标》要求教师要提升信息技术的使用能力，“发挥信息技术直观便捷、资源丰富的优势，帮助学生发展数学学科核心素养”.概念教学应充分利用信息技术，帮助学生加深对概念及其本质的理解，发展数学核心素养.笔者利用GeoGebra软件动画展示抛物线的作图过程，助力了抛物线概念的生成；展示参数的变化对抛物线的影响，加深了学生对标准方程和参数的理解.另外，同屏软件的使用使不同小组的学生能及时交流推导的结果，提升了课堂教学效率.这些信息技术的应用有力地促进了核心素养的发展.