理解数学 表达数学 丰富思维——“直线与圆中的问题探究”一轮复习与反思

王 耀 (江苏省苏州第一中学 215000)

1 学情分析

教学对象是四星级高中的高三物化组合重点班学生，基础良好，有较强的自主学习能力、运算能力和综合运用知识解决问题的能力．

2 考点解读

直线与圆中的综合问题是数学高考中重点考查的内容之一，高考对这一内容的考查既可能出现在填空题也可能出现在解答题．出现在填空题中时，多为直线与圆的位置关系或圆与圆的位置关系为主的小综合题，解法常以“定性分析”和“定量计算”相结合，有一定难度；作为解答题时，则主要考查直线和圆背景下的数学知识综合运用，试题基本源于课本，难度虽然不大，但要求考生具有一定的运算能力和问题解决能力．

教学目标 (1)能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系；掌握利用直线和圆的方程解决一些简单的问题．

(2)能借助几何直观探索解题思路，运用代数方法处理几何问题，感悟数形结合的思想方法，让学生经历获取知识与方法的过程．

(3)通过直线、圆、三角函数、向量、不等式等知识间的联系体现事物之间的普遍联系与辩证统一．

教学重点 能综合运用数学知识解决与直线和圆有关的问题．

教学难点 能在分析问题的过程中合理选择解题方法，优化求解过程．

3 过程实录

3.1 学生自测反馈

用导学案辅助教学，课前以填空题的形式引导学生自主完成如下自测题：

在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+(y-1)2=4．

1.若直线l过点P(1,0)，且与圆C相交于A，B两点，当△ABC的面积最大时，直线l的方程为．

3.动点P在直线l:x-y-2=0上，若圆C上恰有两个点到点P的距离为1，求动点P横坐标的取值范围．

3.2 师生共同梳理(方法的搜集)

(1)面积公式上的边角互化

师：处理直线与圆的位置关系问题时常常涉及求弦长，请同学们回忆一下有哪些处理方法．

师：上述两种方法总结得清晰明了，充分体现了“数”“形”两种思想之间的统一联系.但是，这里在处理圆中的弦长时，我们首选哪种方法呢？

生众：几何法．

师：圆是中心对称图形，通过初中平面几何知识的学习，弦心距、弦长的一半和圆的半径可以构成一个直角三角形，可见弦心距是一个重要的概念，它将弦长、圆心角、弦心距联系在一起，这样便于借助几何直观找到圆中问题的解题途径．下面，请回忆自测题1用什么方法求解.

图1

师：上述两种思路分别采用设“长度”和设“角度”进行转化，得到面积公式，再分别结合基本不等式和三角函数求解，这也是处理解析几何问题的两条常用途径．通过设“角度”的解答，我们是不是还能发现这两个方法可以互化？

学生讨论、回答：边长化成角度，其实就是三角换元，设∠ACB=2θ，则h=rcosθ，AB= 2rsinθ，于是S=r2sin 2θ．

师：非常好！这里我们发现圆中的弦长可以用三角函数来表示，即AB=2rsinθ，也可以称作“参数法”．在解题时，尽量选择适合自己的方法．

(2)向量等式中的数形转化

师：自测题2中给出了一个向量等式条件，我们可以运用向量的什么知识实现几何与代数的转化呢？

图2

师：两位同学用不同方法都得到了正确结果，分别利用了向量的数量积运算和向量的线性运算将向量等式代数化.这是利用向量知识解决几何问题的一种重要方法与途径．当然，我发现也有部分同学选择了向量的另一种运算——坐标化，通过联立方程组进行求解，这也是通性通法.比较而言，生5的方法更加简洁明了．

(3)几何直观下的视角变化

师：自测题3用什么方法？正确求解此题的关键是什么？

图3

生6：根据条件“圆C上恰有两个点到点P的距离为1”可以得到一个以P为圆心、1为半径的圆，并且这个圆与圆C相交(图3)，利用两圆位置关系可以求解，过程如下：

师：很好！生6找到了一个动圆与已知圆相交的位置关系，完美地解决了问题.用这种几何直观的方法解决问题是正确求解的关键．荷兰数学家弗赖登塔尔说：“几何直观可以告诉我们什么是重要的、有趣的和容易进入的，当我们陷入问题、观念、方法的困扰时，几何可以拯救我们．”

从宏观的视角去分析，圆C上到点P的距离为1的点，在以P为圆心、1为半径的圆上；再从微观的视角去思考，这样的点“恰有两个”则表明了两圆的位置关系为相交．因此，我们在分析问题时可以通过经验、观察、想象等途径，直观地感知问题的结果或方向．

3.3 典型例题讲解(方法的应用)

例1(2017年6月苏州市高二期末统考第12题)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+(y-1)2=4，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则PC的最大值为．

图4

分析 首先，根据题意作出示意图(图4)，利用几何直观，可知点P，C在弦AB的中垂线上．通过引入参数(设长度或角度)得到PC的表达式，转化为代数问题求出最值．

师：本例中，通过对题设及结论的分析，合理选择参数(长度或角度)找到简便的解题途径是关键．还有其他解法吗？(停顿一下)

图5

探究 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+(y-1)2=4，正方形ABMN的一边AB为圆C的一条弦，求线段CM长度的最大值．

图6

师(追问)：线段CM长度有最小值吗？如何求？

师：直线与圆的问题归根到底是几何问题，因此解题中常需综合运用正弦定理、余弦定理及三角等知识以达到简化解题过程的目的．

分析 本题中，弦AB被点P分成两部分，考查这两个线段长度比值的范围.结合图形 (图7)，首先引导学生从几何直观的角度探究PA,PB的变化规律(借助GeoGebra软件展示动画),再从解析法角度展开分析．

图7

师：这题从平面几何角度分析，也许不太容易想到．那么，从解析几何角度应该如何思考呢？

师：生12的想法很好，通过向量表达式入手引进坐标运算，得到两圆位置关系求解．这道题也体现了解析几何的本质——用代数的方法研究图形的几何性质.从不同的角度看数学，对数学的本质便有不同的认识．这道题我们仍可从几何的角度深入思考，留给大家课后讨论．

3.4 课堂小结(略)

4 教学感悟

(1)深化认识，理解数学

在《普通高中课程标准(2017年版)》“课程目标”中指出：通过高中数学课程的学习，获得进一步学习以及未来发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验(简称“四基”)；提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力(简称“四能”)．高考命题的依据是课标、考纲与教材，命题“源于教材但又高于教材”，这是全体高三教师的共识．在高三备考的教学实践中，要落实“四基”“四能”，提升学生的数学素养，离不开对教材的深刻理解．章建跃教授近年来倡导的“理解数学”引起了广泛的关注，他指出：理解数学是教好数学的前提，理解数学知识的本质，积累数学知识的教学表达经验．

的确，对于教师而言，理解教材是教好数学的关键，教材中的定理和例习题具有典型性、示范性和关联性，它们或是渗透某些数学方法，或是体现某种数学思想.因此，在高三一轮复习中，我们要认真分析教材，充分利用教材相关资源，通过改编例习题的形式将相关重要知识点串起来，系统梳理知识，构建知识网络；通过挖掘教材中定理、例题所隐含的数学思想方法，使学生了解到高考中所用的一些解题思想方法并非是无源之水、无本之木，而是来源于教材，从而使学生更易理解和掌握数学思想方法．

(2)深度学习，表达数学

所谓深度学习，就是指学生在教师引领下围绕着具有挑战性的学习主题全身心地积极参与、体验成功、获得发展的有意义的学习过程．教学的目的是使学生从“学会”逐步达到“会学”，这实际上就是“数学知识的教学表达”方面的知识．换言之，学生并不是静待接受知识，而是主动“进入”知识结构去分析发现的过程.这就需要教者为学生提供能够进行思维操作和加工的教学素材，成为学生的研究对象．

高三一轮复习的重点是紧扣教材，夯实“四基”“四能”，但如果仅停留在教材知识的简单重复与罗列上，则无法激起学生主动参与的兴趣．复习过程中，不妨注重联系，“合纵连横”地进行知识体系的再建构，将分散在教材各章节中有联系的知识灵活“串联”起来，并以多种多样的方式加以呈现，让学生在回归教材时进行再整理、再综合，进而掌握不同知识的结合点，提高综合运用知识解题的能力．如本节课中研究的相关问题，从解法中我们看到这些问题与三角函数、向量、正弦定理、余弦定理、不等式等知识之间有着密切的联系，而且这些相关知识都是解决几何问题的有力工具，对这些问题的分析历程使学生领会了知识的精髓，理解数学知识的本质，积累数学知识的表达经验．

(3)深入探究，丰富思维

微专题是近年来高三数学复习中的一个常见课型.通过这个课型的教学方法，教师精心选择好的素材和试题，结合归类设计、变式开发等手段完善讲评策略，适时让学生自主或师生合作进行解法的探究及知识的引申拓展，探究解法联系，还原问题本原，从而引导学生积极、主动地矫正思维问题，深入体会数学思想方法，拓宽思维的广度，发掘思维的深度，不断完善认知结构．这不仅不会影响复习进度，还会使高三课堂更富活力，有利于促进学生思维的发展，培养学生的创新精神和实践能力，提高课堂教学的效率和品位．

通过本节课中的问题解决过程发现，解法之间有联系更有创新，各具特色，解题过程不再是“冰冷的形式化美丽”，而是那种发散的、火热的思考过程，达到了数学思维的自然流淌．由此可见，面对数学问题，只要学会广泛地联想和生动地类比，我们就会发现宽阔的思路，探究出各式各样的方法来．如果在解题过程中，对于每一个细节再进一步深入思考，继续追寻下去，那么解法还能不断改进、不断优化，化复杂为简单，聚分散为统一．这一切不仅可以提高学生发现问题和解决问题的能力，更是一种数学美的享受．

总之，提高学生的解题思维能力和数学思维品质，是数学解题教学的重要主题．作为教者，在实践层面，要注重数学学习对象的多样化呈现，促进数学知识的多重建构；要注重数学知识的内在联系，促进数学表征的多元转换；要注重问题表征的数学反思，促进数学思维的深刻生成，从而让我们的课堂教学更加精彩，最大限度地促进学生数学素养的有效提升．