揭示本质 启发思考 改进教学——以“数列的求和”教学为例

王 燕 (江苏省梁丰高级中学 215600)

1 缘起

前不久的一次县区级教研活动中，笔者聆听了三节同课异构新授课“数列的求和”.三位开课教师中的两位不约而同地先给出若干例题，引导学生分析处理，然后总结归纳数列求和的常见方法：分组求和法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、并项求和法等诸多方法，接下来让学生练习巩固．而另一位年轻教师则直截了当地给出数列求和的上述方法，再举例说明方法的具体运用．无疑这样的教学设计和教学过程也完成了相应的教学任务，根据所学，学生也能够解决常见的数列求和问题．事实上，日常教学中大多数教师也一直沿用着这样的处理方式，然而其弊端很显然：学生日后处理这类问题时，往往只会辨识数列求和的形式，然后套用相应的解法来解题．这样处理显然是僵硬的、机械的，没有涉及知识及方法的本质，也就无法灵活地解决问题．比如，遇到如下的问题时，学生发现无法沿用上述解题方法，便会束手无策．

问题112+22+32+…+n2=？

问题2已知递增数列{an}共有2 019项，其各项均不为零，a2 019=1，如果从数列{an}中任意取出两项ai,aj，当i

2 问题的提出

数列求和是高中学生在学习了数列的概念、通项公式、前n项和公式，以及等差、等比数列等知识的基础上的独立成节内容，它既是对上述内容学习的小结和运用，也是培养学生的观察、联想、变形、转化等数学能力，提高学生的探寻规律、拓展思维能力，培育创新意识的良好素材．

那么，对于数列求和，其数学本质是什么？方法本质又是什么？如何科学合理地设计教学、揭示本质，从而更好地启发学生的数学思考？如何为学生的数学思考指明方向？依照《普通高中数学课程标准(2017年版)》(简称《新课标》)的基本理念，结合数列求和的教学，谈谈笔者的一些思考和具体实践．

3 新课标理念下数列求和教学的思考和实践

“把握数学本质，启发学生思考，改进教学”是《新课标》的基本理念之一，强调“高中数学教学以发展数学学科素养为导向，创设合适的教学情境，启发思考，引导学生把握数学内容的本质”.

依据新课标理念，“数列求和”的教学不能满足于教会学生会求一些常见的求和问题，教师应通过适当的例题启发引导学生积极地思考，感悟其数学本质和方法本质，达到自觉领悟，从而学会分析、思考、尝试，探寻问题解决的方法．

3.1 揭示数学本质，明确学习指向

数列求和，就是求解一列数的和，如果面对的是没什么规律的一列数，或者有限的几个数的和，那就直接相加即可．例如，统计我国从1984年参加奥运会至今所获得的奥运金牌数，将历届获得的金牌数加起来便可，直截了当.这样也就消除了学生对数列求和的神秘感．

当然，我们现在所研究的数列求和，是针对具有一定规律的一列数的求和，结合等差、等比数列前n项和公式的推导，其前n项和Sn=f(n)，即刻画为关于项数n的函数表达式．这就是数列求和知识的本质所在，先要让学生清楚这一点，那么学生的学习思考便有了明确的方向．简单地说，数列求和，就是面对具有一定内在规律的一列数，求解前n项和关于项数的代数关系式．

清楚了数列求和的知识本质后，那么解题的方法本质呢？就是通过研究数列的规律特征，适当变形，进行运算化简，获得Sn=f(n)．

3.2 掌握解题方法，领会数学思想

通过例题思考分析，启发学生感悟：数列求和的方法实质，其实就是化简，而要实现化简的关键手段是恰当的转化，更好地体会转化化归的数学思想．

评注通过观察，发现该数列前n项和Sn的求解可转化为两个等比数列的求和，故可利用等比数列前n项和公式求得结果．

评注观察发现，上述数列的求和可以转化为一个等差数列及一个等比数列的前n项求和，而后利用等差、等比数列的前n项和公式计算可得．两题的特征规律较为明显，学生易于发现.教师分析时，应该突出主题词“转化”，强化学生面对此类问题时的转化意识．

作为数列求和的新授课，不能仅向学生介绍数列求和的一些常见方法，让学生模仿着答题，而应该利用好该教学素材，引领学生去观察、联想，将陌生问题转化为熟悉问题，将复杂问题转化为简单问题，期间应该始终伴随着学生的火热思考．

解析 观察特点，发现首末等距两项和均为常数1的规律，便可形成如下的求解方法.

评注观察特征发现规律是解题关键，而上述的灵活处理也避免了等距配对求和时的奇偶讨论，显得简捷而灵动．

以上例题基本上涵盖了高中数列求和的常见基本类型，引导学生加以总结：面对数列求和，观察其特征规律，通过适当的转化变形，化归为等差、等比数列的求和，或利用相邻项抵消的办法处理．

给学生以这样一个认识：对数列求和，不要去套用这法那法，而是着眼于数列的形式特征进行转化来解决问题．在这样的观念下，即使面对较为复杂灵活的问题，也能够冷静以对，积极思考，探索问题解决的途径和方法．

3.3 提升思维能力，培育创新意识

高中数学课程以学生发展为本，培育科学精神和创新意识，提升数学学科核心素养，以期实现“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”．

在学生课外思考的基础上，延时分析作答问题1和问题2．“慢学习”充分考虑学生独特的知觉、意义和洞察力，关注学生创造性学习潜能的挖掘．

对于问题1：12+22+32+…+n2=？学生交流各自的想法和探索情况：

探索1

12345…ni=1k1361015…ni=1k215143055…ni=1k2ni=1k1537393113…

问题2解析 由题设，取j=2 019，i=1,2,3,…,2 018，又a2 019=1，故1-ai(i=1,2,…,2 018)仍然是数列{an}中的项.又{an}是递增数列，则1-a2 018<1-a2 017<…<1-a2<1-a1<1．又a1

评注问题1和问题2是数列求和学习的延伸和拓展，需要学生进行充分的思考，在思考的基础上，学生间相互交流，互相促进，从而提高学习自主性和积极性，同时也提升了解决较难问题的信心和勇气．

4 思考和认识

数学教学是数学思维的教学，但在实际教学中，教师往往只注重学生学习的结果和题型的操练，而忽视学生的思考和领悟过程．课堂教学中往往很少给学生独立思考的时间，更不用说培养创新性思维，发展数学素养.要培养学生的思维能力，落实素养发展，教师应该重视设计引导学生思考的数学活动，重视设计启发学生思考的问题.通过变式等手段不断激励学生积极观察，提出猜想，通过探索，助力学生思考，从而使学生学会思考，提升解决问题的能力．

数学学习的方式多样，而其本质是思考，思考，再思考，而现在的学生一直在做，一直在练，唯独缺少的是思考，以及思考以后的领悟．谷超豪院士说：“良师多启发，珍本富精蕴．解题岂一法，寻思求百通．”教学的最终呈现是学生的学，作为教师，应该从学生的学出发，深入研究教学内容，结合新课标要求努力揭示数学的内在本质，启发学生思考，不断改进我们的教学．