函数思想个性意蕴的教学寻绎*

姬梁飞

摘   要   采用概念分析和比较研究的方法，解构函数概念的生成方式，剖析函数思想的内涵，提炼函数思想的个性意蕴，探索函数应用的通法。从而揭示了函数概念结构特征，阐释了概念认知的动态过程，明晰了函数思想生成与应用形态，重构了概念思想性与应用性的科学价值。

关键词   函数概念  函数思想  数学方法

数学思想是生成数学素养的重要途径，是人们对数学知识经验的体验、反思、感悟及升华的思维成果，蕴含着深刻的智力价值、方法价值以及应用价值。函数思想是基本数学思想的重要组成部分，是数学思想中具有支架性、基础性的思想方法。函数最早见于18世纪德国数学家莱布尼茨的著作中，20世纪初由西方率先将其引进中学数学课程。德国数学家F·克莱因曾多次强调函数在中学数学教学的重要性，主张中学数学应以函数为中心。他认为函数思想与空间观察是数学能力的基础，应以现代数学观点改造、扩充传统数学内容。在《高观点下的初等数学》中，他提到了函数与微积分教学，主张把函数概念放在一个突出地位[1]。美国数学家M·克莱因认为函数是研究运动对象中的基本概念，它在长达两百年内几乎占据了所有数学工作的中心位置。他在《古今数学思想》一书中写道，函数概念的采用，产生了微积分，这是全部数学中继欧氏几何后最大的创造[2]。在国内，有学者甚至提出“以函数观念为数学教育的核心”的理念[3]。在《普通高中数学课程标准（2017版）》中，函数作为课程结构的四条主线之一，贯穿于整个高中数学的学习过程，作为现代数学中最基本的一个概念[4]。函数不仅教学地位突出，而且应用广泛，它跟随机变量、算法、方程、不等式、线性规划等知识都有紧密联系，它又作为微积分的研究对象，为学生后续学习高等数学打下基础。函数思想内涵深刻丰富，思维价值深远，应用领域广泛，是人类解决问题的一种重要思想方法。因此，探索函数概念内涵之精义，阐释思想之微妙，提炼个性之意蕴，明晰方法之特性，践行应用之路径，促进学生素质之养成。

一、概念结构：函数思想的认知基础

从学科内容上看，数学主要由数学事实、数学概念、数学原理、数学结构等四部分组成。数学概念作为数学学科的基本元素，每个概念都是通过精确的语言予以定义，且形式规范严格。函数概念也不例外，它是在集合、对应、映射等概念基础上的一种精确描述。

首先，现代函数概念的建立离不开三个构成要素。集合、变量、对应关系是函数概念结构中的三大元素，其中变量、集合论是函数的逻辑起点，对应关系或映射是函数的内核，符号语言、表达式是函数的数学化形式。函数正是建立在变量、映射、集合论的基础上，采用现代数学语言来刻画函数概念的内部逻辑关系和外部表达形式（见图1）。

其次，函数概念内核是其对应关系（映射法则）。函数是一种特殊的映射。关于映射法则f：A→B需要特别说明：①“对应关系”强调数集B中对应元素的唯一性，可以是“一对一”“二对一”“三对一”，甚至是“全对一”，但没有“一对二”的情况。②关于映射的理解。映射包含了双射、单射非满射、满射非单射、非满非单射等四种情形。函数是在两个集合均是数集的前提下，数集A中可以存在多个元素在数集B中有相同的象，但数集B中不存在多个元素在A中有相同的原象，即多元对一元，不能一元对多元。由于数集A中任意元素在数集B中都有象且唯一，所以映射中集合A都有象，数集B有可能存在剩余元素在A中没有原象，如此，函数值域是数集B的子集，而不是数集B。

最后，函数概念的多种定义方式。现代数学概念强调用联系和结构的观点看问题，突出概念的本质特征。早期的函数概念被看成是变量和数学表达式的组合，或含有变量和常数的方程，没有突出函数的本质特征。现代数学定义函数概念的方式主要有“变量说”“映射说”“关系说”等三种方式[5]。吕世虎、王尚志等人更是认为映射说、变量说以及关系说是认识函数的三个维度[6]。“变量说”重形象直观，“映射说”重变量间的依赖关系，“关系说”重数学化形式。它们之间既相互联系，又有本质的区别，既是一种继承，更是一种飞跃。例如，映射由最初的实数之间的对应，过渡到集合之间的对应，再飞跃到变量的对应，体现了数学抽象关系的螺旋式发展。

二、图式理解：函数思想的数学表征

从数学思维角度看，数学学习包含了数学语言、数学思想、数学观念等多个层面。思想方法的认知活动涉及了概念架构、组块、模型、同化、图式等心理组织系统，良好的概念图式有助于思想方法的理解、应用及操作。数学对象在心理上的表示形态跟其概念性质、概念内部结构以及外部特征等要素密切相关（见图2）。

布鲁纳将数学对象的表征方式分为符号性表征、图象性表征、活动性表征等三种。符号性表征是抽象化的记号、代码、字母、数字等，脱离了原事物的具体特征;图象性表征利用数表、图形、格式化程序、象征性几何线条表示某些数学操作或运算;活动性表征是通过组织适当的活动，展现数学对象的发展顺序或轨迹。按照信息加工形式，认知结构的形态主要有线性形态、树形形态、网络形态等三种形式，对函数概念及思想的信息处理则属于网状结构（见图3）。

理解概念图式、概念表象的操作程序，对于学习函数来说有着重要功效。深化函数概念的理解，需要建构新旧知识间的联系和相关的基础图式。在基础图式中，一个字母符号、一个变化模型、一条曲线都会对认知的架构，对符号意义的理解，对概念的形成产生必不可少的依托作用。

函数思想的数学表征反映了函数的基本性质、外部特征以及应用功能。函数具有奇偶性、周期性、单调性、对称性、凸凹性、有界性等基本性质。这些思想性质既是讨论最值、变化规律、图象直观以及模型应用的重要依据，也是刻画函数内涵、描述函数特性、应用函数模型的數学表征。函数思想的数学表征在解决许多数学问题中具有重要功用。既可以研究某类特殊函数（比如三角函数的周期性，对称函数的奇偶性），也可以研究一般函数（比如单调性是函数最根本性质，几乎适用一切函数）。

三、比较辨析：函数思想的个性意蕴

函数概念是认识函数性质、函数模型、函数思想的基础和起点。函数思想又是对函数概念、函数性质、函数模型的凝结和升华。函数思想就是应用函数概念、函数性质、函数模型等方式方法去发现、分析、转化、解决现实问题的数学方法。

从哲学视角看，函数思想是刻画事物运动、变化发展的辩证思维工具，用定量方法研究事物之间的数量关系。比如，随时间变化，摩天轮上的某处距离地面的高度变化，臭氧层空洞面积随时代变迁的变化规律等。因此，函数是反映一种联系与变化的哲学观，描述定量与变量、静止与运动之间的关系。从数学角度看，函数思想是反映一种思维方法的数学观，一种应用定量和变化观点思考问题的思维意识。在函数的萌芽阶段，它仅建立在简单的运算法则、表格方法、逻辑算法、对应规则等算术结构上，作为一种“算式”的形态。陈惠勇曾分析了算法思想和函数思想的内在关联[7]。在函数创立的原始阶段，它的雏形是“表达式”，此时仍是静态形式。字母代数思想使数学研究对象从原来的常量空间逐渐过渡到变量空间，它是数学从静止走向运动、特殊走向一般、算术走向代数的一种本质飞跃。除此之外，方程思想、符号思想、映射思想也为函数思想的创建奠定了夯实的基础。在函数思想的成熟阶段，它的学术形态在本质上是一种对应关系，这也突出了函数的本质特征，此时函数是一种动态、变化的过程。在函数思想的完备阶段，由于现代集合论、序偶理论的发展，使得函数思想趋于完善，同构思想更是将函数的代数形式与几何形式紧密结合起来，函数形态由解析式、图象等多种表达形式走向融合与统一。函数思想的形成扎根于自身概念结构之中，并吸纳了算术、代数、数理逻辑、概率统计等结构中的思想精华，彰显了独特的思想个性特征（见表1）。

四、应用分析：思想火花的美丽绽放

从函数概念的生成到函数思想的解析，既是为了明晰函数概念内涵，活跃训练思维，开阔数学视野，更是出于解决实际问题的需要。函数思想应用涉及了几何学（最值、曲线方程等）、代数学（方程近似解、方程根的判断等）、运筹学（线性规划与目标函数等）、概率论（概率密度函数、似然函数等）、数理统计学（回归分析、用散点图确定可能的函数形式）以及数学建模与探究活动等诸多领域。例如，在数学学科内部，利用函数思想证明某些算法的全局收敛性[8]。除此之外，函数思想也是解决物理、化学、医学、经济学等领域中问题的重要工具。例如，运用函数模型分解脉搏血流流量的波形[9]。应用函数思想解决实际问题的主要方法有建构函数模型和构造函数情境。建模和构造函数的主要工具是化归，将实际问题转化为函数问题，建构常规函数模型和关系式，利用导数、方程、不等式等工具来解决问题，尤其是导数，它是研究函数问题中最重要的工具。

函数思想贯穿于整个数学学习过程，它与方程、不等式、微积分等其他知识有着天然的联系。应用函数思想离不开对实际问题和知识信息的深刻观察比较和实验操作，通过综合分析和理性思维作出选择和判断，这也是培育数学眼光和思维的有效路径。

综上所述，函数是研究定量与变量、静止与运动等数量关系的一种思维方法，蕴含着普遍联系和运动变化的哲学观点。函数思想是认识世界的一种思考方式，解决问题的一种思维方法。它是函数观点的集中反映，是解决问题的一种基本思想方法。在其形成过程中，它吸纳与凝结了多种数学思想方法，并展现了其独特的思想个性魅力。函数思想的学习有助于逻辑思维能力的培育，数学建模意识的养成，解决问题能力的提升。应用函数思想方法，需要领悟函数本质，深化概念形成的认知过程，积累丰富鲜活的实践经验。

参考文献

[1] 克莱因.高观点下的初等数学[M].舒湘芹，陈义章，杨钦栋，译.上海：复旦大学出版社，2008.

[2] 克莱因.古今数学思想[M].张理京，张锦炎，江泽涵，译.上海：上海科学技术出版社，2014.

[3] 张孝达，陈宏伯，李琳.数学大师论数学教育[M].杭州：浙江教育出版社，2007.

[4] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[5] 钱佩玲，邵光华.数学思想方法与中学数学[M].北京：北京师范大学出版社，2017.

[6] 吕世虎，王尚志.高中数学新课程中函数设计思路及其教学[J].课程·教材·教法，2008（02）.

[7] 陈惠勇.算法思想与函数思想[J].数学通报，2010（05）.

[8] 柳颜，贺素香.基于增广Lagrange函数的约束优化问题的一个信赖域方法[J].应用数学，2020（01）.

[9] 王璐，陈雪玮，郝丽玲.基于Lognormal函数的脉搏波分解可行性研究[J].东北大学学报：自然科学版，2019（12）.

[作者：姬梁飛（1982-），男，河南信阳人，华中科技大学教育科学研究院，博士生。]

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