基于改进无偏灰色模型的矿山地表沉降预测研究

2020-09-18权文斌雷雨龙

陕西煤炭 2020年5期

权文斌，雷雨龙，尚轩

(陕西陕煤黄陵矿业有限公司一号煤矿，陕西延安 727307)

0 引言

我国是一个富煤贫油的国家，目前仍然将煤炭作为最主要的消耗性能源，为国家的经济发展提供动力，而随着煤炭资源枯竭以及深部开采煤炭资源技术不太成熟，更好地解决“三下”开采以及薄煤层开采方面所面临的问题是未来煤炭发展的主要目标之一。同时地下煤炭资源的开采会使得处于采空区上方的建筑物和地表产生不均匀沉降，因此，准确科学的预测矿山地表沉降变化趋势受到越来越多的关注。

在各种预测模型中，无偏灰色模型具有消除传统灰色模型固有误差的特性，计算所需数据量少，计算便捷，适合中长期的预测。由于无偏灰色模型仍然是一种指数函数，解决函数微分方程时就会要求原始数据序列的波动不能过大，否则会使预测模型的预测结果误差增大，不能正确反映预测的效果。文中利用3次样条插值法对原始数据进行预处理，增加一定的数据量，使数据序列更加平滑，继承无偏灰色模型的特性，并提高了改进无偏灰色模型的拟合预测精度。文中，作者将改进无偏灰色模型应用于矿山地表沉降监测中，并与无偏灰色预测模型进行对比分析，得出结果充分展示了改进无偏灰色模型的优越性。

1 无偏灰色模型

1.1 灰色系统理论

华中理工大学的邓聚龙教授在20世纪80年代首次提出了灰色系统理论，该理论本质上是一种数学方法用于解决信息不完备问题，它将控制论的观点和方法延伸到复杂的大系统中，将自动控制于运筹学的数学方法相结合，用独特的方法和手段研究了广泛存在于客观世界中具有灰色性的问题。灰色系统在较短的时间内得到了快速的发展，其已广泛应用到社会科学以及自然科学等诸多领域。

灰色系统理论的建模是一种贫信息建模，它把一切随机过程看做是一种灰色过程，该灰色过程是在一定范围内变化的、与时间有关的过程。建模时对原始数据进行重新生成，将没有规律的原始数据序列通过累加或累减处理而成为具有较强规律性的新数列，新数列再用微分方程来描述，解此微分方程即得到自变量与因变量的关系。总的来说，灰色系统理论的建模所针对的数列是生成后的数列，其对原始数据没有大样本的要求，只要原始数列有4个以上的数据就可通过组成变换来建立灰色模型。

1.2 建立无偏灰色模型

设有非负准光滑的等间距的原始数据序列为X(0)={x(0)(1),x(0)(2),x(0)(3),…,x(0)(k-1),x(0)(k)},k=1,2,…,n，无偏灰色模型的建立步骤如下

(1)

确定数据矩阵B、YN：

(2)

(3)

(4)

建立无偏灰色预测模型：

(5)

2 改进无偏灰色模型

2.1 3次样条插值

插值是知道部分节点数据的前提下，求解过这些已知点的曲线，根据求解的曲线函数对曲线上未知点位进行预测。

样条软尺在术语上是指在技术制图中，使用软尺连接两个相邻数据点，以达到连接曲线光滑的效果。样条插值是一种分段多项式插值法。数学上是指曲线光滑需要在曲线上一阶导连续，因此，在节点处需要满足一阶导数相等。另外，为了使得曲线的曲率最小，要求曲线二阶导连续，在节点处需要二阶导相等。

3次及以上多项式可以满足节点处光滑和曲率最小要求，但是次数高的曲线容易震荡，因此，常常选用3次多项式。

2.2 建立改进无偏灰色模型

改进无偏灰色模型主要体现在：利用3次样条插值对原始数据序列进行预处理，增加数据量，使数据序列更加平滑，如图1所示。

图1 改进无偏灰色模型流程

插值条件：S(xk)=yk,k=0,1,…,n;

分段条件：在小区间[xk,xk+1],(k=0,1,…,n-1)上，S(x)是3次代数多项式，即S(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3；

光滑条件：S(x)∈C2[a,b]。

则称S(x)为样条节点xk上的3次样条插值函数(Cubic Spline Interpolation)，称求S(x)的方法为3次样条插值方法。

设原始数据序列为X(0)={x(0)(1),x(0)(2),x(0)(3),…,x(0)(k-1),x(0)(k)},k=1,2,…,n，对原始数据进行3次样条插值处理后的序列为S(0)={s(0)(1),s(0)(2),s(0)(3),…,s(0)(k-1),s(0)(k)}，计算表达式如下

k=1,2,…,n

(6)

若在该函数在两端点处没有一阶导数和二阶导数值时，则由对应的差商值代替。

3 矿山地表沉降预测

某矿区地表沉降监测数据共16期，具体数据如图2所示。以图2中第1期至第12期原始数据建立无偏灰色模型和改进无偏灰色模型，将2种预测模型所得出的预测结果与第13期至第16期的实测数据进行精度分析比较，通过相对误差来判断模型的有效性。

图2 地表沉降监测数据

3.1 建立无偏灰色模型

x(0)(k)=2.987 45e-0.000 681 49(k-1),k=1,2,…,n

3.2 建立改进无偏灰色模型

对原始数据序列进行3次样条插值处理，插值节点设置为每个小区间的中点处，即为[xk,xk+1]的中点xk+0.5，由于数据没有一阶导数和二阶导数，则导数值由差商值代替。用于建立模型的原始数据共12期，经过间隔为0.5的3次样条插值法处理后的数据周期变为23期，预处理后数据见表1并如图3所示。

表1 3次样条插值法处理后数据

图3 3次样条插值处理后数据

x(0)(k)=2.987 35e-0.000 337 88(k-1),k=1,2,…,n

通过无偏灰色模型和改进无偏灰色模型对矿区地表沉降监测数据的第1期至12期进行模拟，并预测第13期至第16期的监测数据值，2种方法的预测值如图4所示，拟合值如图5所示，2种预测模型的性能比较见表2。

图4 2种预测模型预测结果

图5 2种预测模型的拟合值比较

表2 2种预测模型的性能比较

4 结论

(1)改进无偏灰色模型比无偏灰色模型更符合矿区地表的沉降监测数据的特点。

(2)经过3次样条插值法处理后，原始数据的数据量增加，数据序列更加平滑，提升了无偏灰色模型的预测精度。

(3)对比两种预测模型，改进无偏灰色模型比无偏灰色模型的拟合预测精度高，其平均相对误差和平均绝对误差分别为0.003 48%、0.009 80%和0.007 86%、0.011 39%。

矿山的沉降过程受到很多方面因素的综合影响，并且沉降的整个过程是动态缓慢的，这也使得对观测的沉降数据分析从以前的线性分析逐渐发展到非线性分析，由静态分析发展到动态分析，多样化逐步成为变形分析的主要模式。为了能够更好地反映矿山沉降趋势，进一步提高矿山地表沉降预测的精度，在建立模型预测趋势时对建模的原始沉降数据要不断更新，也是该模型需要进一步研究改进的地方。在预测模型方面，不同的预测针对不同的矿区地表沉降数据，预测精度都会有所不同，因此针对具体的矿区沉降数据处理时，应采用多种模型进行对比，从而选择出比较好的预测模型。作者通过研究对比了不同模型预测结果的精度，结果显示改进无偏灰色模型能更好地预测矿山地表沉降趋势，对于类似条件的矿区可以提供借鉴。