交换p群的整群环以及它的极大序的K1群*

杨全李，唐国平

(中国科学院大学数学科学学院, 北京 100049)

1 预备知识

定义 1.1对阶为素数p的幂的交换群G，由有限生成交换群的结构定理可将G唯一地表示为某些pki阶循环群的直和，i=1,2,…,n，且k1≤k2≤…≤kn,数组(k1,k2,…,kn)p称为群G的型。

证明见文献[1-3]。

引理 1.2对代数数域F的代数整数环OF，有SK1(OF)=1。

证明见文献[4]。

证明见文献[5]。

证明见文献[6]。

证明见文献[7]。

0→D(Λ)→CL(Λ)→CL(Γ)→0.

引理 1.6有正合序列

且有

(i)

(ii)

其中Jp0是Γp0的Jacobson根。

证明见文献[10]。

且

其中t=t(G)=m-1是G的非平凡循环子群的个数。

证明见文献[10]。

证明见文献[11]。

2 主要结果

定理 2.1若G=Cpn,(n≥0)，则

从而

于是由引理1.7得

当n=0时，上式显然成立。

定理 2.2当G=Cpn×Cpn，(0≤n)时，则

=(p+1)ph-1.

根据文献[12]有关分圆域的判别式的计算公式

于是在这种情形下有

由引理1.7得

=p2q，

上式对n=0情形显然成立。

定理2.3当G=Cpn1×Cpn2,0

其中

=(p+1)ph-1.

=pn1.

综上所得有

于是

由引理1.7

=p2q.

综合定理2.1～定理2.3的结果有

定理 2.4对G=Cpn1×Cpn2,0≤n1≤n2，有

其中

对于任意(k1,k2,…,kn)p型的交换群，相应的计算公式非常难以给出，然而对下面特殊情形，有

定理 2.5当G=(Cpn)l,n≥0;l>0时有

其中

于是由引理1.7

=p2q,

K1(Γ)=(Γ)×⊕SK1(Γ),

=2.

=24.

=212.

=1.

=2.

=24.

=210.

(i)由定理2.5可得

=24,

(ii)由定理2.5可得

=211,