关于超可解群与Sylow塔

曾利江

(遵义师范学院 黔北文化与经济研究院，贵州 遵义563000)

0 引言

在有限群论中，群的可解性以及超可解性[1]等都是极其重要的性质，虽然它们有区别，但也常常有联系。正是因为人们在研究过程中发现了可解性和超可解性及其它的概念及其性质，并把它们应用于自然科学的各个分支，起到了强有力的研究工具的作用，使得群论的研究得到强大的推动力。理论研究和应用研究进入互相促进的良性循环。

研究可解性和超可解性常常需要引进一些新的概念。本文中，我们首先给出超可解群的定义，证明超可解群的几个性质，然后引入Sylow塔的新概念，并对群的Sylow塔作了一些讨论，最后我们用前面证明的超可解群的性质，证明了超可解群必有Sylow塔，并举例说明了有Sylow塔的群不一定是超可解群。

1 一些准备

定义1.若H，K

定义2.如果有限群G的主因子均为循环群时，G就叫超可解群。

推论：超可解群的主因子不仅是循环的，实际上还是素数阶的。

定理1. (1)超可解群的每个子群也超可解群；

(2)超可解群的每个同态像也是超可解群；

(3)两个超可解群的直积也是超可解的；

(4)若G有两个正规子群H与K，使G/H与G/K都是超可解的，则G/H∩K也是超可解的。

证明.(1)设G为超可解群，而1=G0◁G1◁G2…◁Gr=G为G的一个主群列，易知，对G的子群S而言有：

1=S∩G0◁S∩G1◁S∩G2…◁S∩Gr=S

为S的一个正规群列(即每个S∩Gi为S的正规子群，见文献[2-3])，其中商因子S∩Gi/S∩Gi-1具有性质：

S∩Gi/S∩Gi-1=S∩Gi/(S∩Gi)∩Gi-1≅(S∩Gi)Gi-1/Gi-1≤Gi/Gi-1，

然而对每个i，Gi/Gi-1是素数阶的，故S∩Gi/S∩Gi-1或为平凡的，或为素数阶的，于是从上述S的正规群列中删掉那些重复的项以后剩下的就是S的主群列而有循环商因子，即S为超可解的。

=Gi(Gi-1N)/Gi-1N

≌Gi/Gi∩Gi-1N≌(Gi/Gi-1)/(Gi∩Gi-1N/

Gi-1)

(3)设H又是一个超可解群，而有主群列1=H0◁H1…◁Ht=H，于是可知

1=H0◁H1◁…◁Ht=H◁G1×H◁G2×H◁Gr×H=G×H

为G×H的一个主群列而有循环因子Hi/Hi-1(i=1，2，…，t)及Gj×H/Gj-1×HGj/Gj-1

(j=1，2，…，r)，故G×H是超可解的。

(4)设G有二个正规子群H，K使G/H与G/K都是超可解的。于是易证映射σ：g→(Hg，Kg)为G到G/H×G/K内的同态映射，且有kerσ=H∩K，故G/H∩K与G/H×G/K的一子群同构，然而(3)说明了直积G/H×G/K的超可解性，故由(1)知G/H∩K为超可解群。

2 Sylow塔的讨论

先给出下面的定义，从后面可以看出Sylow塔的概念和性质用于鉴别超可解群很有用，实际上它们在自然科学的一些应用科学中都很有用。

关于Sylow塔，我们有下面几个性质。

定理2.有Sylow塔的群必是可解群。

证明G的子群H=Gp1Gp2…Gpr-也有Sylow塔Gp1,Gp1Gp2…Gp1Gp2…Gpr-，H。故关于群的阶归纳地假定H可解，则从H◁G得G/H的G/H≌Gpr的可解性，从而保证了G是可解的。

定理3.当G有Sylow塔时，G的任意一组Sylowp1-，p2-，…，pr-子群也可以组成其Sylow塔，且Sylow塔是唯一的。

定理4.当G有Sylow塔时，G的子群与商群也都有Sylow塔。

证明 当H

又当G～G※时有N◁G使G※≌G/N，这时易知GpiN/N为G/N的Sylowpi-子群，且不论k取1，2，…，r中任何值，恒有(Gp1N/N)(Gp2N/N)…(GprN/N)=Gp1Gp2…GprN/N◁G/N，这说明G/N=G※有Sylow塔。

3 主要结论

现在来证明超可解群与Sylow塔的一个关系，即下面的

定理5.超可解群必有Sylow塔。

证明 设G是超可解的，我们归纳地假定凡阶数小于|G|的超可解群都有Sylow塔。

令p是|G|的最大素因素Gp∈Sylp(G)，并令N为G的一个极小正规子群，于是有GpN/N∈Sylp(G/N),由定理1的(2)，G/N是超可解的且有|G/N|<|G|，据归纳法假定有GpN/N◁G/N，即GpN◁G。

然而由N在G内的极小正规性以及G的超可解性有|N|=q(素数)，若p=q，则GpN=Gp，故从已知的Gp◁N◁G即得Gp◁G；若p>q，则由Sylow定理易知GpN只有唯一一个Sylowp-子群Gp是GpN的特征子群(见文献[4-5])，再从GpN◁G也得Gp◁G。

总之，不论q如何，恒有Gp◁G。于是|G/Gp|<|G|，故由定理1的(2)，G/Gp超可解，而据归纳假设可知G/Gp有Sylow塔，因此易知G有Sylow塔。

4 一个附注

另一方面，我们在下面的附注中指出，定理5的逆定理不成立。从而完全揭示出超可解群与Sylow塔的关系。

附注：有Sylow塔的群不一定是超可解群。例如：A=×是32=9阶初等交换群(a3=b3=1=[a,b]),σ∈Aut(A),aσ=b-1,bσ=a,易知σ4=1；再作A与的半直积G=,定义关系为a3=b3=1=[a,b]，g-1ag=aσ=b-1,g-1bg=bσ=a,g4=1,则G为36=22×32阶群，当然是可解的，且有A◁G。由G的可解性得G有Sylow基底G3=A，G2∈Syl2(G),也说明G有Sylow塔A，G。假设G是超可解群的，则说明1◁A◁G为G的主群列时，G必有一个3阶的正规子群，从而有元aλbμ使o(aλbμ)=3及(aλbμ)t=g-1(aλbμ)g=aμb-λ,故λt≡μ,μt=-λ(mod3),于是λ与μ中有一个≡0(mod3)时，则另一个也≡0(mod3)，故据o(aλbμ)≡3可知只能是λμ≢0(mod3)。因此必有t≢0(mod3)。另一方面，从λt(-λ)≡μ(μt)(mod3)有(λ2+μ2)t≡0(mod3),故从t≢0(mod3)得λ2+μ2≡0(mod3)，这与λμ≢0(mod3)相矛盾。从而说明G不是超可解的。

5 结语

由上面的结果(定理5和附注)知道：超可解群必定有Sylow塔，即是说：没有Sylow塔的群必定不是超可解群，简单地说，有Sylow塔是一个群成为超可解群的必要条件，同时，附注说明了这个条件不是一个群成为超可解群的充分条件。