在比较中探索算理 在实践中深化算法

屠明杰

摘要：“除数是一位数的笔算除法”是多位数除法的基础，在日常生活中有广泛的应用。笔算除法与笔算加、减、乘法有很大的差异。算理是计算过程中的道理，解決“为什么这样算”的问题，算法是计算的方法，解决“怎样算”的问题。如何在多种方法的比较沟通中，帮助学生深入理解笔算除法的算理，掌握笔算除法的算法，笔者对本课进行了实践和思考。

关键词：笔算除法;算理;算法;小学数学

“笔算除法”是人教版小学数学三年级下册第二单元《除数是一位数的除法》的内容。本单元主要包括口算除法、笔算除法和用估算解决问题三部分，其中“笔算除法”是本单元的教学重点。本课是在学生已经掌握表内乘法，能正确地口算100以内加、减法及有余数除法的口算基础上进行学习的。它既是表内乘法及口算除法的进一步发展，又是进一步学习除数是两位数、多位数除法的重要基础，起着承上启下的作用。本课的教学目标为：让学生经历一位数除多位数笔算的探索过程，掌握一般的笔算方法，能正确地计算一位数除多位数，并能用乘法验算。使学生能够积极参与探索算法和解决问题的活动，同时培养学生认真计算、书写工整的习惯。

一、尝试解答，参与探究

学生的学习过程是一个认知的过程，也是一个探索的过程。有效的数学活动是学生学和教师教的统一，学生是学习的主体。本单元从一开始就用具体熟悉的情境（分书）人手，在对情境中数学信息的分析的基础上引出问题，让学生理解计算是解决问题的方法，产生计算的需要，从而形成学习的内部动机。

师：这里有8本美术书要平均分给4个班，每个班可以得到几本？

生：2本。

师：那如果是80本书平均分给4个班呢？

生：20本，因为8÷4=2，所以80÷4=20n

师：那我们在分80本书的时候是一本一本分吗？

生：不是。我们可以十本十本分，每个班级分到2个十本。

师板书：8个十除以4是2个十，就是20。

接着让学生分800本书。

生：一百一百地分，8个百除以4，每个班得到2个百，就是200。

接着让学生分120本书。

生：如果要一百一百地分，只有1个百不够分，就把120看作12个十，12个十除以4等于3个十，就是30。

学生有了分书的感受，对口算除法中为什么可以先不看被除数后面的0有所感受，从而在探究过程中逐渐理清事物的本质。然后，学生展示自己的想法，全班交流，使他们在民主宽松的情境下自我检查反思，逐步体验成功，增强自信心。

二、比较联系，理解算理

本单元的计算教学多是在学生原有的知识基础上进行的，数学知识在内容上包含了深刻的思维和丰富的知识，在学习过程中学生会出现思维断层。因此要找准新旧知识之间的联系，多采用对比的方式促进知识的迁移类推，促进学生的有效发展。在讲授笔算除法第一个例题时，继续沿用分书的情境：42本书平均分给2个班，每个班可以分到几本？让学生先独立思考，并用自己的方法把答案算出来。课堂展示的四种方法是逐渐递进、不断上升的。

（一）对比：方法一与方法三

师：看看它们之间有什么联系和相同的地方？

（师指方法一中的“21”，是怎么算出来的）

生：二二得四，一二得二，我能想到2乘21会得到42。

师：方法三里下面一个42怎么得来的？

生：2×21。

师：它们都表示什么意思？

生：2个21。

（二）对比：方法二与方法四

这两种方法是新旧知识之间的跨越，从横式出发引导学生寻求竖式中的对应数位。学生质疑“20在除法竖式中的哪儿？”使得沟通不再停留于表面，而是将沟通融人一个整体，“2在十位上，表示2个十”体现的是竖式中位值制的原则，“2个十乘2就是4个十，所以是40，在对应的数位下面写好4，表示分掉4个十。”可见口算与竖式算理是一样的，只是形式不同。这样指引学生感悟横竖式之间的内在联系，将其延伸至思维深处。

（三）对比：方法三与方法四

师：仔细观察，比一比这两个竖式一样吗？哪里不一样？

生：少了一层楼。

师：为什么方法四还要多盖一层楼呢？

生：方法四体现了分的过程，方法三其实是直接想到了答案写在上面，和口算没什么区别。

师：我们能不能把方法四直接简写成方法三的形式？

生：不可以，如果遇到复杂的，不能直接想出答案，就不能一层楼解决了。

师：是的，在我们以后学到被除数、除数的位数更多的除法时，会更加体会到这一点，需要我们一步步除，一步步分，最后求出答案。

师：像这样用竖式计算的除法，就是我们今天要学习的笔算除法。（揭题）

这两种竖式方法，学生很清楚地发现少了一层楼的步骤，那么关键问题“下面一层能省去吗？”揭示了问题的本质，这是除法算理的体现，适用于每一道笔算除法的通用的规范格式。

相对于加法、减法和乘法，笔算除法总显得比较另类，前者的笔算都是从个位算起，而除法却要从高位算起。这是对学生先前学习经验的挑战，这个教学过程中不仅要让学生掌握笔算除法的过程、理解每个步骤的算理，还要体会到规范竖式的优势。

三、循理入法，明确算法

（一）强化算法，规范语言

教师带领学生规范书写，规范的书写格式可以表达学生的运算思路和计算方法、步骤，防止错写漏写数字和运算符号，同时引导学生完整叙述笔算过程。先让几个语言表达能力强、思维敏捷的学生说，接着同桌相互说，这样多次叙述算法，避免了竖式计算开始就出错的现象，很好地强化了算法。

（二）知识迁移，类推算法

在完成两位数除以一位数的基础上，出示三位数除以一位数的笔算，让学生独立尝试解决。这样在原有两位数除以一位数除法的基础上，推动新知识的学习，不仅可以取得事半功倍的教学效果，还能调动学生学习的积极性，让他们学会如何探究，形成迁移类推的思想和方法。

（三）归纳提升，形成模型

组织学生回顾用竖式计算的步骤、方法，讨论交流“笔算除法要怎么算？”。学生发现在除任意一位的时候，都要经历“除、乘、减”这三步，并且完成这三步以后要把被除数的下一个数“落”下来，继续除。学生整理出了“除、乘、减、落”这样的步骤以后，每算一层都按这样的顺序重复去做，思路就比较清晰了。教材并未给出文本法则，意味着教学时无须学生机械记忆，而要把重点放在引导学生基于个体经验进行适当的归纳总结，使得原有的计算经验更加清晰。

四、强化练习，提高质量

教师要遵循学生的认知规律，适当地运用基本练习、改错练习、综合练习等，满足各层次学生的需要，使每个层次的学生都有事可做。

（一）抓住易错知识，突出针对性

针对学生易错的或者预测学生可能会错的的题设计针对性练习，帮助学生真正掌握算法。在小结注意点时，提醒学生如果有余数要余着继续算，如果不能整除，要想最大能商几，这样才能保证余数要比除数小，每一步要算清楚算完整。通过这样针对性的练习，帮助学生掌握“笔算除法”的算法，避免学生在算法上出现的错误，使教学获得较好的效果。

（二）训练计算速度，关注开放性

在基本练习的基础上，设计答案不唯一的开放题，学生自主探索不同的除法竖式，有利于开拓学生思路，展开发散思维，培养学生的创新意识。同时也有利于训练计算的速度，比比看，谁编得又多又对。

（三）加强理法联系，重视应用性

这道题需要综合运用一位数的乘、除法知识，第（1）小题学生一般会用逐一尝试的方法，由能否正好除尽得到整数商来判断。教师可引导学有余力的学生观察题目中数据的特点，应用基本的乘、除法口算做出判断。例如，根据125的个位数是5，判断出文具的单价不可能是8元，然后通过笔算进行验证。让学生体会这种先通过口算或估算找到解题思路，最后用笔算来验证的解题方法，提高学生解决问题的能力。

算理为计算提供正确的思维方式，保证计算的合理性和正确性，算法为计算提供快捷的操作方法，提高计算的速度。算理往往是隱性的，算法往往是显性的，它们相辅相成，算理的探析有助于学生探索算法、掌握算法。在小学数学课程中，计算教学占据着较大的比重。新课程视野下的计算教学虽然在具体的要求与处理上有了一些实质性的变化，但只要把握好“算理”和“算法”这两条主线，努力践行新课程的教学理念，就会达到笔算除法教学的理想状态。