探讨高考解析几何的数学思想方法
2020-09-15吴龙泽
吴 慧 吴龙泽
(1.集美大学理学院 福建 厦门 361021)(2.广东省饶平县钱东中学 广东 潮州 515726)(3.华南师范大学 数学科学学院 广东 广州 510631)
普高课程标准指出，一方面，根据题意，合理建立直角坐标系，掌握圆锥曲线标准方程和几何性质等基础知识。另一方面，代数和几何能互相转化，能够运用多种数学思想方法解决问题。平面解析几何是高考的宠儿，每年必考。只有知己知彼，才能战无不胜。只有掌握其考点以及如何考，才能有目的性的学习，争取做到知根知底、事半功倍。将2010-2019年全国卷Ⅰ(文科)解析几何考题进行分析和整理。
近10年，高考的文科和理科都是考查3道题。客观题2道10分，解答题1道12分，共22分。就考查对象而言，直线与方程第Ⅰ卷考查4次，第Ⅱ卷是14次；圆与方程第Ⅰ卷考查0次，第Ⅱ卷是10次；椭圆与方程第Ⅰ卷考查7次，第Ⅱ卷是4次；双曲线与方程第Ⅰ卷考查5次，第Ⅱ卷是2次，都出现在填空题；抛物线与方程第Ⅰ卷考查7次，第Ⅱ卷是6次，都出现在解答题[1]。考题分布比较平衡。
就考查的知识点而言，标准方程在2010-2018年都考查1次，2019年考查2次。几何性质在2012、2015年都考查3次，2011、2013、2014、2017和2019年都考查2次，其他年份为1次。直线与圆锥曲线在2011年考查3次，2010、2016、2018和2019年都考查2次，其他年份为1次。一般情况，客观题考查比较独立，以几何性质及基本量的运算为主，计算量不大，属于得分题。但是如果客观题以压轴题呈现，难度大幅度增加，属于失分题。近10年，解答题有8次在第20题，2013和2019年则是出现在第21题。它分2小题设问，第一问一般比较简单，易得分，主要考查定义和几何性质，第二问则与三角函数、平面向量等知识相结合，综合考查学生能力，属于中等题或者难题。
解析几何在高考中有着举足轻重的地位，其体现的数学思想方法是多种多样的。以下对试题中所蕴涵的几种主要数学思想方法给予具体说明。
1.数形结合思想方法
数形结合的内涵是通过“以形助数”或“以数解形”，使繁杂问题简单化，抽象问题直观化[2]。
例1(2019全国卷Ⅰ)已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|=4，⊙M过点A，B且直线x+2=0相切.(Ⅱ)是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|-|MP|为定值？并说明理由[3].
【解题思路】本题的考点是定点定值问题。⊙M与x+2=0相切时，可设圆心M(x,y)，半径r=│x+2│，即是“以形助数”。接着，借助垂径定理寻找点M的轨迹方程，得到是y2=4x，然后运用抛物线的几何定义得到定点，即是“以数解形”。
例2(2019全国卷Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(-1，0)，F2(1,0),过F2的直线与C交于A，B两点，若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|，则C的方程为( )[3]
【解题思路】本题的难点在于确定点A的位置，破解此难点是过好两关，一是借形关，即会画图、思图和用图，通过椭圆的定义先确定A点位置；二是运算关，可由相似三角形或余弦定理求出答案。
2.化归思想方法
化归是转化与归结的简称，化归思想方法的实质是“转化”，抽象问题转化为直观问题，繁杂问题转化为简单问题，从本质来讲，就是由难化易，由繁化简的过程[3]。
【解题思路】解答此题的关键是“转化”桥梁，即把要求的直线方程，转化为只求其在y轴的截距，通过已知条件即得结果。
例4(2018全国卷Ⅰ)设抛物线Cy2=2x,点A(2，0)，B(-2，0)，求点A的直线l与C交于M，N两点.(Ⅱ)证明：∠ABM=∠ABN[3].
【解题思路】本题的难点是如何把∠ABM=∠ABN进行等价转换。破解此题的关键是“转化”，即把角的关系转化成直线斜率的关系。利用题意条件，联立方程组，列出直线BM和直线BN的斜率，设而不求，从而得到倾斜角的关系。
3.函数与方程思想方法
函数与方程思想方法的实质是：把实际问题转化成数学模型，列出其数学关系，运用函数或方程，转化为对函数或者方程(组)求解，从而解决问题。
【解题思路】破解此题的关键，一是“对称”入手，由题意的对称得到点N坐标，然后求得直线ON方程。二是“方程”思想，构建直线ON和抛物线C的方程组，解出方程的根，得H的坐标，接着计算出第I问比值。而第II问是利用直线MH和抛物线C的函数解析式组成方程组，通过根的个数来判断交点问题，得出是否还有其他公共点。
【解题思路】将直线方程l代入圆C的方程，化简成为一元二次方程，利用韦达定理及向量数量积构造关于K的方程，求出K，进而得到直线方程l的解析式，最后求得MN长度。
4.分类讨论思想方法
分类讨论思想方法的内涵是：在求解过程中，对某参数无法进行统一研究，可以把参数按照某种标准进行分类，然后整理计算每类情况，最后总结归纳，得出结论[4]。
【解题思路】破解此题的关键是对参数m的分类讨论，根据焦点在x轴或者y轴把m分为0
例8(2013全国卷Ⅰ)已知圆M：(x+1)2+y2=1,圆N：(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(Ⅰ)求C的方程；(Ⅱ)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|[3].
【解题思路】在第Ⅰ问中，⊙M和⊙N的圆心关于原点对称，曲线C有可能是椭圆或者双曲线，可以分情况讨论，找矛盾，得出答案。第Ⅱ问关键是求出⊙P的方程，然后根据直线l与两圆都相切，求出直线方程。在求直线的过程注意直线斜率分情况讨论，存在与不存在问题，最后结合椭圆方程，求出AB长度。
除了以上的4种平面解析几何常用的数学思想方法，考题中还包括了类比、特殊到一般等思想方法。数学思想方法学习并不是一朝一夕的事，而是需要在整个教学过程中逐渐积累。由此，提出以下几点教学建议。
首先，教师在教学时要因材施教。对不同层次的学生要采用不同的方法，不能“一刀切”。后进生在巩固基础知识的同时渗透数学思想方法，中等生要教会他们能简单运用数学思想方法，优等生要能灵活运用数学思想方法解答试题。例如在选修1-1的2.3.2抛物线几何性质的例5，对于后进生可以渗透函数与方程思想进行讲解，对于中等生可以多加讲解分类讨论思想方法，对于优等生不仅要求会掌握运用以上的思想方法，而且可以再进行拓展，提高难度。又如在选修1-1的2.2.2双曲线几何性质，讲解例5时，后进生可讲授数形结合思想。而中等生可用类比思想比较第41页的例6，得出其第二定义。对于优等生，可由例5和例6，从特殊到一般，总结圆锥曲线的轨迹问题。
接着，教师在教学时要坚持不懈。只有反复强调，学生才能每时每刻想着数学思想方法，用其指导解题。例如在选修1-1的2.2双曲线，在新授其标准方程可以类比椭圆。类似的，在授课几何性质时候也可以类比椭圆来展开。焦点在y轴上的性质可以类比焦点在x轴的性质。反复强调，学生不仅记得牢而且不易混淆，还有利于思想方法的运用。又如在必修2的第4章在讲解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，从它们相似之处强调类比思想。运用代数法和几何法证明它们之间的关系，反复强调数形结合的重要思想方法。
然后，教师在教学时要注意自然性。在教学过程中，要掌握好讲解思想方法的时机，可以在概念讲解中，也可以在例题后。注意有机结合，不可生硬照搬。例如在必修2的4.2.2圆与圆的位置关系这节课里，可以类比直线与圆的位置关系引入新课，自然而然引入类比方法。接着用圆心距与两圆半径的关系判断位置，同时用两圆的解析式构建方程组，由实数根判别式得到两圆的关系。自然而然的讲授数形结合的思想方法。又如在必修2的4.2.3直线与圆的方程的应用，在讲解例4和例5后自然而然的引入“转化”的思想，代数与几何的转化步骤。
