二元机翼颤振可靠性研究

李景奎，段飞飞，蔺瑞管，迟 晔

（1.沈阳航空航天大学民用航空学院，辽宁 沈阳 110136；2.中国南方航空股份有限公司沈阳飞机维修基地，辽宁 沈阳 110100）

1 引言

机翼颤振是典型的气动弹性问题，当飞行速度达到颤振临界速度时，非定常气动力、惯性力以及弹性力耦合作用将导致机翼发生颤振，对飞机安全性和可靠性产生重大影响[1]。一般来说，传统颤振分析是基于确定性参数进行的。但是，实际工程中由于材料、制造、工艺等各种因素影响，机翼结构参数具有随机性。文献[2]采用MCS 方法研究了结构参数不确定性对机翼颤振的影响，提出在进行机翼颤振分析时应当考虑参数的随机性。

概率气动弹性分析是考虑参数随机性对气动弹性稳定性影响的常用方法，一般来说，多采用蒙特卡罗模拟（MCS）方法利用随机参数的概率分布计算系统颤振的失效概率[3]。文献[4]采用蒙特卡罗法获得颤振失效的概率分布和导致颤振失效的重要影响参数。文献[5]利用蒙特卡罗方法结合确定性颤振分析，开展不确定性量化工作，并得到给定速度下系统发生颤振的概率。文献[6-7]采用改进的线性抽样技术结合蒙特卡洛模拟法，分析了机翼在跨声速流动中随机参数的概率特征和颤振可靠性敏感性问题。

蒙特卡罗模拟方法适合于隐式极限状态函数的可靠性分析，但其显著的缺点是计算工作量太大，进行概率颤振分析必须进行大量抽样才能得到系统的颤振失效概率，响应面法具有计算量小、计算精度高和易于实现的特点，使得它在隐式极限状态函数可靠性分析中有广泛的应用[8-9]。利用响应面法结合确定性颤振分析，解决气动弹性系统颤振极限状态函数难以显式计算的问题，并结合可靠性灵敏度设计获得随机参数变化对机翼颤振可靠度的影响规律。为机翼结构的颤振分析与可靠性设计提供了一种高效可行的计算方法。

2 二元机翼颤振分析

二元机翼力学模型，如图1 所示。系统具有两个自由度，上下平移h（向下为正）和俯仰转动α（以使机翼前缘抬头为正）。图中—弹性轴在半弦点后的距离；xαb—重心到刚心的距离[10]。

图1 二元机翼简图Fig.1 Sketch of an Airfoil Motion with Two Degrees of Freedom

对于二元机翼气动弹性问题，其具体的运动方程可以写为如下形式[11]：

进一步可以得到阻尼g，速度V，频率ω 分别为：

3 二元机翼颤振可靠性分析

根据确定性颤振分析建立描述二元机翼颤振可靠性的隐式极限状态函数[6]为：

基本随机参数：x=（μ，a，b，xα，rα，ωα，ρα）T，式中：μ—质量比；a—机翼刚心到弦线中点的无量纲距离；b—半弦长；xα—机翼重心到刚心的无量纲距离；rα—机翼对刚心的无量纲回转半径；ωα—机翼扭转模态频率；ρα—机翼弯曲模态频率。

采用不含交叉项二次响应面法结合确定性颤振分析研究二元机翼颤振可靠性步骤如下：

（1）通过回归拟合二次解析表达式（极限状态函数）来代替真实响应面：

（6）判断可靠度指标是否满足收敛条件|β（k）-β（k-1）＜ε|，ε 为给定的精度要求，若条件满足，则响应面法收敛，迭代结束，否则执行第（2）步。

（7）循环结束后，由可靠度指标 β（k）可得失效概率Pf。

4 颤振可靠性灵敏度分析

灵敏度为失效概率Pf对基本随机变量x=（μ，a，b，xα，rα，ωα，ρα）T分布参数的偏导数，可靠性灵敏度分析的目的是研究机翼力学模型中各基本随机参数变化对颤振可靠度指标或失效概率的影响规律。可靠性灵敏度可表示为[13-14]：

标准差灵敏度反映了随机参数波动性对可靠性的影响程度。

运用响应面法计算二元机翼颤振可靠性程序流程图，如图2所示。

图2 响应面法计算二元机翼颤振可靠性流程图Fig.2 Calculation of Flutter Reliability of Wing Flow Figure by Response Surface Method

5 算例分析

二元机翼力学模型，如图1 所示。确定随机参数x=（μ，a，b，xα，rα，ωα，ρα）T，其均值与标准差，如表1 所示。

表1 基本随机参数的均值、标准差Tab.1 Mean and Standard Deviation of Basic Random Variables

运用v-g 法以减缩频率k 作为迭代参数求解二元机翼颤振分析方程的特征值，获得速度V 和结构阻尼系数g 的关系，如图3 所示。

图3 v-g 图Fig.3 V-g Figure

表2 均值点与设计验算点对比Tab.2 The Mean Point and the Design Verification Point

二元机翼均值点与设计验算点处的颤振可靠性指标计算结果，如表3 所示。二元机翼均值点处即确定性颤振分析的可靠度为R=0.9564，设计验算点处即考虑参数不确定性影响的颤振可靠度为R=0.9985，考虑参数不确定性影响的颤振可靠度比确定性颤振分析的可靠度提高了4%。所以通过二元机翼颤振可靠性研究，计算出机翼气动弹性系统各个不确定性参数的设计验算点以及对应的颤振可靠度和失效概率，可以更好地在保证颤振稳定性的前提下，提高颤振可靠度，减小颤振幅度。

表3 可靠性指标Tab.3 Reliability Index

由式（11）～式（12）可得失效概率对基本随机参数x=（μ，a，b，xα，rα，ωα，ρα）T均值灵敏度和标准差灵敏度，如表4 所示。为了更加形象地表示随机参数对失效概率的影响程度，将表4 中的可靠性灵敏度用柱状图表示出来，如图4～图5 所示。

表4 基本随机参数灵敏度Tab.4 Basic Random Variable Sensitivity

图4 均值可靠性灵敏度Fig.4 Reliability Sensitivity of Mean

图5 标准差可靠性灵敏度Fig.5 Reliability Sensitivity of Standard Deviation

∂Pf/∂μxi和 ∂Pf/∂σxi的正负号表示随机参数均值和标准差的改变对机翼颤振失效概率影响的趋势。如果符号为正，说明机翼颤振失效概率随基本随机参数的增加趋于安全，相反，则趋于失效；∂Pf/∂μxi和 ∂Pf/∂σxi绝对值的大小反映了随机参数的改变影响机翼颤振失效概率改变的快慢。因此，∂Pf/∂μxi和 ∂Pf/∂σxi计算结果的正负号和绝对值的大小为判断机翼颤振稳定性趋势的关键。

从失效概率对随机参数均值的灵敏度∂Pf/∂μxi可以看出，μ，b，xα，rα，ωα，ρα数值的增加会导致机翼颤振稳定性变差，并趋于失效；a 数值的增加则导致机翼颤振稳定性变好。

从失效概率对随机参数标准差的灵敏度∂Pf/∂σxi可以看出，μ，b，xα，rα，ωα，ρα数值的增加会导致机翼颤振稳定性变好；a 数值的增加则导致机翼颤振稳定性变差，并趋于失效。

可见，当将机翼颤振分析从确定性分析拓展到不确定性分析的范畴时，可以获得机翼颤振可靠度以及随机参数变化对机翼颤振失效概率的影响趋势，从而更好地对机翼气动弹性系统的稳定性以及可靠性做出准确合理的判断。

6 结论

（1）利用响应面法结合确定性颤振分析，研究二元机翼颤振可靠性问题，解决了机翼气动弹性系统颤振极限状态函数难以显式计算的难题。通过对拟合的显式极限状态函数进行概率可靠性分析，将机翼颤振分析从确定性分析拓展到不确定性分析，计算出机翼气动弹性系统随机参数的设计验算点以及对应的颤振失效概率，可以在保证颤振稳定性的前提下，提高颤振可靠度，减小颤振幅度。

（2）结合可靠性灵敏度设计获得了随机参数变化对机翼颤振失效概率的影响趋势，定量地确定了随机参数变化对颤振临界速度的影响程度，为不确定性颤振分析提供更加全面的信息，为机翼结构的颤振分析与可靠性设计提供了一种高效可行的计算方法，对提升飞机的飞行稳定性以及可靠性具有重要的实际意义。