小波包尺度相关性阈值函数去噪算法研究

2020-09-14叶科伟曾灿灿

机械设计与制造 2020年9期

叶科伟，曾灿灿，姚俊

（西南科技大学制造科学与工程学院，四川绵阳 621000）

1 引言

含噪信号经小波包分解后得到一系列小波包系数，利用特定的阈值去噪算子对小波包系数进行阈值化处理后对系数进行重构即可完成信号的去噪过程，常用的传统阈值去噪算子有软阈值函数与硬阈值函数。然而软阈值函数对所有大于阈值的系数全部收缩导致重构后信号过扼杀现象严重，硬阈值函数由于其不连续性容易产生伪Gibbs 现象[1]。为了弥补软、硬阈值函数的缺陷，近年来许多学者进行了研究。

文献[2]构建了一种多参数阈值函数，提出了一种最优小波去噪算法，且给出了最优参数的数值计算方法，虽取得了较好去噪效果，但其参数众多且计算繁琐，不适用于实际去噪应用。文献[3]提出了一种基于软硬阈值之间的改进阈值函数，在一定程度上弥补了软硬阈值的缺陷，但其去噪形式依旧固定，无法根据小波系数的噪声变化情况进行调整。文献[4]在传统小波包阈值函数的基础上提出了一种基于正弦函数的阈值函数，且引入了调整参数使其具有灵活的去噪形式，该阈值函数具有和软阈值函数相同的连续性，且对较大系数保留较好，经过数学推导，证明了该函数较传统软、硬阈值函数更好的性质。但并没有给出调整参数的最优解。文献[5]根据小波系数尺度相关性原理，提出了基于双树复小波相关滤波法，对实验与工程信号进行去噪分析，取得了较好的效果。

针对以上分析，提出了一种基于小波包系数尺度相关性的改进阈值函数去噪算法。实验结果表明该方法能在去除噪声的同时，更好地提取出信号的特征频率，是一种更为优越的去噪算法，具有实际的工程意义。

2 小波包系数尺度相关性

2.1 小波尺度相关理论

信号经小波包变换之后，其小波包系数在各尺度上具有较强的相关性，尤其是在信号的边缘附近，其相关性更加明显，而噪声对应的小波系数在尺度间却没有这种明显的相关性，且噪声的幅值会随分解尺度的增加而快速减小。因此，通过对相邻尺度的小波包系数直接相乘进行相关计算，便可增加有用信号，且同时削弱噪声成分，使代表信号的小波包系数显现出来。具体过程如下：

（1）计算相关系数。设W（j，n）为信号在j 尺度上第n 个离散时间点的二进制小波包变换系数，则相关系数C（j，n）为相邻尺度同一位置上的小波包系数乘积，即C（j，n）=W（j，n）W（j+1，n）。

（2）归一化相关系数。为使相关系数与小波系数具有可比性，须计算归一化相关系数CN（j，n）（这里后述相关系数皆表示为归一化相关系数），即：

2.2 相关系数与噪声

为了分析小波包系数中噪声的分布以及相关系数与噪声的关系，分析如下含噪调幅仿真信号。

式中：n（t）—标准差为0.3 的高斯白噪声信号，如图1 所示为该仿真信号的时域波形图（采样率为1000，采样数为1000）。

选用sym8 小波对原始不含噪信号进行4 层小波包分解得到其小波包系数，如图2（a）所示。由图可知，该仿真信号的有用信号主要集中在小波包系数的低频与中频区域，而其他频段的系数几乎为零，因此，对该信号求取相关系数时，上述含系数较多的频段对应的相关系数幅值应较大。选用相同分解参数对该含噪信号进行小波包分解，得到含噪小波包系数序列，如图2（b）所示。由图2（b）可知，含噪信号经小波包分解后，其有用信号的系数值较大，而噪声系数的值经过分解后会被压缩，且在相邻层数的小波包系数序列，有用信号的系数具有相关性，而噪声系数不具备这种特性[6]，由图2（c）所示的相关系数也验证了上述观点，有用信号的小波包系数相关系数普遍较大（且相对于小波包系数而言被进一步放大），而噪声系数的相关系数被压缩（相对于小波包系数而言被进一步压缩）。

图1 含噪仿真信号Fig.1 Noisy Simulation Signal

图2 小波包系数及其相关系数Fig.2 Wavelet Coefficients and its Correlation Coefficients

3 改进小波包阈值去噪算法

3.1 传统小波包去噪及其不足

由上述公式可以看出，硬阈值函数虽然对小波包系数保留较好，但由于其本身不连续，所以去噪结果可能产生伪Gibbs 现象从而导致附加振荡，而软阈值函数虽然具有连续光滑的特性，但是其对大于阈值的所有系数均进行收缩，所以其偏差可能较硬阈值而言更大，而文献[3]阈值函数虽进行了改进，但只是软、硬阈值函数的折中算法，通过下文分析可知，该阈值函数仅为这里自适应阈值函数的一种取值。在实际应用中，阈值函数的选择并无固定标准，对于不同的信号选用不同的去噪算子达到的去噪效果也不同[7]，因此，研究一种能在软、硬阈值函数之间自适应调整的新阈值函数具有实际的工程意义。

3.2 自适应改进阈值函数

根据以上分析，对传统阈值去噪算子进行改进，使其兼并软、硬阈值函数的特征而不拘泥于固定的去噪形式，得到的改进阈值函数如下式所示：

式中：0＜s＜1—阈值函数调节参数，当s→0 时，该函数接近为硬阈值函数；当s=1 时，该阈值函数为软阈值函数。

由于硬阈值函数对较大的小波包系数保留较好[9-10]，而软阈值函数对大于阈值的系数全部压缩。因此，对于含噪较多的小波包系数，阈值函数应偏软即s 较大；而对含信号系数较多的小波包系数阈值处理方式应偏硬即s 值应较小。

由上文分析可知，当小波包系数为有用信号的系数时，其相关系数值较大，而当小波包系数为噪声系数时，其相关系数值较小，因此，设定信号的小波包系数的归一化相关系数为自适应改进阈值函数中的调节参数值（0＜s≤1），由此使得提出的阈值函数具有噪声分布自适应性。

与传统的阈值函数相对比，阈值函数具有如下优点：（1）连续性好，不会造成去噪后信号产生额外振荡。（2）是软、硬阈值的折中，不会造成较大的有用系数被过压缩。（3）具有灵活的去噪格式，能够根据小波包系数的噪声分布，通过调节参数对去噪形式进行自适应地调整。

3.3 仿真信号去噪验证

为了验证上述分析，对图1 所示的含噪仿真调幅信号进行去噪分析，选用sym8 小波，分解层数为4 层，为了实现最佳的去噪效果，选用文献[8]中的阈值：

式中：σ—信号的噪声标准差；N—信号长度；j—小波包分解层数，由上式可知，阈值随着分解层数的增大而减小，符合实际的信号规律。

为进行对比，分别选择软、硬阈值函数、文献[3]提出的改进阈值函数以及提出的自适应改进阈值函数对该信号进行去噪，得到结果，如图3 所示。

图3 仿真信号去噪对比Fig.3 Simulation Signal Denoising Contrast

4 实验分析

为对这里方法进行进一步验证，分析某品牌涡轮分子泵中使用的微小型高速深沟球轴承（具有外圈故障）振动信号，实验时设定轴承转速为60000r/min，采样率为20kHz，采样时间为0.1s，经过计算得知此时轴承转频为1000Hz，外圈故障频率为foc=2552.9Hz。采集到的轴承振动时域信号，如图4 所示。由图可知，直接从其时域信号，无法分辨出任何轴承振动特征信息。因此，对其进行功率谱分析，得到其结果，如图5 所示。由图5 可知，该振动信号由于受到噪声干扰，从其功率谱中只能识别出轴承基频1000Hz 及其倍频2000Hz，3000Hz，由于干扰频率的存在，无法准确识别轴承故障频率以及其他特征频率，因此，需要对其进行去噪预处理。

利用db5 母小波对该信号进行4 层小波包分解得到其小波包系数序列，如图6 所示。由图6 可知，该信号分布在整个频段内并不均匀，对其进行相关系数计算，得到结果，如图7 所示。将图7 结果进行归一化计算，即可得出自适应阈值函数调节参数序列s（i）。

与仿真分析一样，分别使用软、硬阈值函数，文献[3]改进阈值函数以及基于小波包系数尺度相关性的阈值函数去噪方法对该信号进行去噪，且对去噪结果进行功率谱分析，得出其结果，如图8 所示。

由图8（a）、图8（b）所示的软、硬阈值函数去噪算法结果可知，该振动信号经硬阈值去噪后虽然去除了部分噪声，且轴承的外圈故障频率2552.9Hz 被还原出来，但其高频部分仍存在较多干扰频率，影响故障诊断的准确性。而经软阈值函数去噪后，虽然噪声频率被有效压缩，但信号的特征频率也被压缩严重。文献[3]去噪结果，如图8（c）所示。该结果表明，该改进去噪算法有效地去除了部分噪声频率且还原了信号的故障频率成分以及基频及其倍频成分，但是在故障频率周围还是存在一些干扰频率，影响了特征频率的判断。而通过图8（d）这里方法去噪结果可知，这里方法不仅有效地去除了噪声干扰频率，且还原了信号的基频及其倍频成分1000Hz，2000Hz，3000Hz 等，以及轴承故障频率2552.9Hz及其调制成分3552.9Hz，这表明这里方法在更加有效地去除噪声的同时，也能有效地还原信号的特征频率，较其他方法而言，去噪效果更好。