浅析自主招生数学试题一题多解

曾志

摘要：自主招生又称自主选拔，是高校选拔录取工作改革的重要环节。本文首先分析自主招生数学试题中一题多解的要求;然后以2009年清华大学自主招生数学试题题2为例，评析它的不同解法;最后给出考生做好一题多解题的几点建议，希望能够给备考学生和指导教师提供借鉴。

关键词：自主招生，数学，一题多解。

继2010年以来，鉴于社会发展对各类专业人才的新需求，全国重点大学在高考录取方面进行了相继的改革，先后组织“北约”“华约”“卓越”等联盟进行统一测试。2015年以后，为体现个性化录取，联盟取消，并且每年自主招生选拔的名额比例逐渐增加，引起了备考学生、家长和教育工作者的广泛关注。

自主招生数学试题一般有30个题左右，考试时间为三个小时。考试内容涉及高中数学必修和选修内容。题型以填空题和解答题为主，重点考查学生的基础知识和基础技能、发散思维和综合解决问题能力。考试分值主要集中在解答题上，考生要想取得理想的成绩，必须做好解答题，而很多解答题体现了一题多解的方法，其目的在于考察学生的知识的宽度与发散思维能力。

1.一题多解的要求

一题多解就是对于同一道题目，可以从多种角度思考，采用多种解题思路，运用不同的方法和技巧来解答。自主招生数学试题一般难度较大，一题多解的要求是学生要具有扎实的基础知识和深度思维能力，学生才能在解决问题时对所学的知识进行整合，对问题进行多角度的观察和分析，找到每种角度的切入点和突破点。学生往往认为，做完一道数学题只要得到一个正确的答案就行了，为什么还要应用多种方法来完成一道数学习题呢？我认为，学生能不能应用多种方法解答出一道数学习题与学生的思维宽度和思维深度有关。因此这就要求教师在平时教学过程中要注重典型一题多解例题的示范，从高起点、科学和规范地引导学生从不同的角度去分析和思考同一个问题，进而拓展学生的知识广度与思维深度。课后通过一题多解的练习，拓宽解题者的解题思路，促进学生发散性思维水平提高。

2.例谈一题多解的具体应用

笔者以2009年清华大学自主招生数学试题题2为例，该题考察的是一个不等式题，也是高考甚至其它高校自主招生考试常考的知识点，具体题目如下：

1、设为实数且，求证：对任意的正整数，有。

这道题的难度属于中等，李多敏[1]老师给出了该题6种解答，这里笔者不打算再给出详细解答过程。仅从李多敏老师的每种解题方法给出个人一点简单评析。

评析解法一、运用函数的知识解决问题。首先是把要证明的不等式进行简单变形，然后构造一类特殊的函数即凸函数，最后从凸函数性质的角度去分析并解决问题。函数知识是高中数学的基础，也是高考常考甚至必考的内容。

评析解法二、运用数列的知识解决问题。从条件出发，把条件进行变形，使得满足等差数列的定义，进而从等差数列的角度出发，直接代入不等式的左边，利用二项目定理就得到结论。

评析解法三、运用三角函数的知识解决问题。从条件出发，联想三角函数的平方关系，把条件进行三角代换，结合二项目定理和三角函数的有界性来解决问题。

评析解法四、运用排列组合的知识解决问题。 巧妙地利用排序不等式构造了二项式定理展开的通项，从而得出结论。

评析解法五、运用数学归纳法解决问题。在证明过程中，结合课本中的基本不等式的性质使得该问题解决。 巧妙地利用排序不等式构造了二项式定理展开的通项，从而得出结论。

评析解法六、运用数学归纳解决问题。在证明过程中，推广教材上一个基本不等式得到柯西不等式来解决问题。

上述该题代表典型的一题多解题，考生要想在一题多解题中做到迎刃而解，笔者提出如下几点建议。

1、回归教材。自主招生试题源于课本，又高于课本，教学要回归教材的主体地位，充分认识到教材的重要作用。通过上述解题方法的分析，作为学生，要充分掌握教材中的基本概念、定理和性质以及它们的应用，平时要善于总结、归纳，对学过的知识进行不断复习并巩固。

2、注重知识之间的联系。教材每一章或每一节是一个独立的个休，如何建立个体之间的联系是解决一题多解题型的关键，上述该题正是反映知识间的联系，巧妙地把不等式与函数、数列、三角函数和归纳法建立起来，这就要求教师在教学过程中善于引导学生建立知识之间的联系。学生在学习中，要深入掌握概念、公式、定理和性质等，注重知识点之间衔接，学会寻找各数学知识之间的相似之处，进而寻找解题方法。

3、適当拓展知识。课堂教学除了以教材为主外，还有必要拓展教材以的知识，加深知识的浓度与广度。解法一中的凸函数和解法六中的柯西不等式是教材以课本外的知识，属于延深内容，一般而言，全国重点学校的自主招生考试的试题要难于高考的试题，但又低于数学竞赛的题目，所以要求教师在平时教学过程中有必要拓展知识，考生在复习时要注重知识点的延伸，做到举一反。

4、培养学生的思维能力。学生的思维能力是近些年来自主招生考试试题重点考查内容之一。上述是一个不等式题，考察的问题需要转化为函数问题加以解决或者转化为数列问题加以解决，同时考察了数学的思想方法，需要转化为数学归纳法加以解决。近年来，自主招生题型主要以选择题、填空题和解答题，例如清华大学的试题全部为不定项选择题，选对则正确，选错一个选项就按零分处理，其目的在于这样题型考察学生思考问题的全面性。部分高校在填空题和解答题题中设置了学习型问题，其目的考察学生解决实际问题的能力和创新能力等。

参考文献

[1]李多敏。一道自主招生数学试题的多种解法[J]。中学数学月刊，2014 （3）：60。

[2]李保荣。自主招生试题中常用的解题策略[J]。高中数理化，2018（14）：15-16。

[3]王张建。高校自主招生数学试题特点及对策[J]。中学生数理化（学研版），2015 （1）：55。

[4]时宝军，李淑莲，于瑞广。2009年清华大学自主招生数学试题解答与评析[J]。数学通讯，2010（3）：54-58。