用“差异取值验证法”巧解高考数学选择压轴题

2020-09-11刘欣华

经济师 2020年9期

●刘欣华

高考数学选择题近年来一直稳定在12个小题，每个小题5分；考查内容覆盖范围广，穿插多个知识点的链接，融入多种数学思想和方法。考生必须具备快速、有效的基本解题技巧和能力。这不但是教学过程的重点，而且也是教学成果的体现。因此，研究高考数学选择题的解题技巧具有重大的现实意义。

一、高考数学选择题解题技巧概述

高考数学选择题根据考试大纲，一般情况下按由易到难的顺序排列，主要考点分A、B、C三级。A级是基础的题目，能力要求为“了解、理解”，B级主要是中档题目，能力要求为“理解、掌握”，C级为难题、压轴题，能力要求为“综合应用”。考生需要发挥双向思维，充分利用题设和选项两个方面所提供的已知信息进行解题，通过多种解题技巧迅速完成，一般情况下每个题至少有两种或两种以上的解题方法。

高考数学选择题的解题技巧要注意避免复杂的大量计算，避免常规的解题方法。大多数选择题可以运用常见的解题技巧：直接法、代入验证法、分析排除法、估值推算法、特殊取值法、图解法。但是最后两道压轴题题型复杂，信息量大，费时费力，需要运用特殊的解题技巧才能迅速排除干扰项：单选题模式固定，结构独特，在有限的备选答案中，仅有一个是正确的；依据选项彼此之间相近又相互排斥的特点，可以采用差异取值验证法求解。

二、差异取值验证法的思维原理和适用范围

“差异取值验证法”是根据选择题的备选项，观察每个选项区间范围和差异，代入差异的特殊值验证是否符合题设条件从而进行取舍。其适用范围——适用于选择题；选择题的选项中含有区间范围。具体分三个步骤：第一步是找选项中的“差异”；第二步“取值”，通过选项中的差异出现的值，而且一定是特殊值；第三步“验证”，验证题目中给的等式或者不等式是否成立。

这种解题思想突破常规技巧，巧妙地避开了难点，节省书写解题过程所耗用的时间，使考生体会到“柳暗花明”，凸显其准确、迅速判断答案的优势；检验考生的观察能力和发散性思维；逐步提升考生的数学思维层次以及分析、判断和推理问题的能力。

三、差异取值验证法在高考数学选择题中的具体应用

（一）问题初阶，掌握基本思想

分析：此题是选择题，而且选项给出区间，可以采用差异取值验证法。

对比选项之间的差异，在四个选项中，0都不在范围内，因此0不作为特殊值考虑。而选项A、D含有-1，选项B、C不含有-1，这时取特殊值-1.①当x=-1时，f（0）

例2定义在[-2，2]上的函数f（x）满足（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]>0,x1≠x2且f（a2-a）>f（2a-2）,则实数a的取值范围为（）

A.[-1,2]B.[0,2）C.[0,1）D.[-1,1）

分析：由已知条件判定此函数为单调递增函数。此选择题给出了选项范围，考虑差异取值验证法。

观察选项中的特殊值，每个选项都含0，因此不作为特殊值考虑。选项A、D含有-1，B、C不含有-1，这时取特殊值-1。①当a=-1时，得f（2）>f（-4），已知函数的定义域是[-2，2]，显然不符合，说明a不能取-1，排除选项A、D。

再对比选项B、C的差异，两个选项都含0，选项B含有1，选项C不含1，这时取特殊值1。②当a=1时,则f（0）>f（0），显然不成立，a不含1，排除选项B，答案选C。

例1、例2中一般的函数图像法和单调性可以求解，只是稍显麻烦，通过差异取值验证法只需要验证两步就得出结论，运算量非常小，简单有效。

（二）问题升华，巧妙选取差异特殊值

例3已知函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（）

A.（-1,2）B.（-∞,-3）∪（6,+∞）C.（-3,6）D.（-∞,-1）∪（2,+∞）

分析：考查极大值和极小值问题就涉及到了导数，涉及到了单调性，说明导数有正有负，原函数有增有减。因此先求导数f'(x)·=3x2+·2ax+a+6

观察四个选项中，A、C选项含有0，B、D选项不含有0，这时取特殊值0。①令a=0时，f'（x）·=3x2+6>0则f（x）递增，这与已知函数有极小值不符，因此a不能取0，排除选项A、C

再对比选项B、D的差异，取特殊值-2。②令a=-2时，f'(x)·=3x2-4x+4，判别式△=16-3×16<0，则f'（x）>0恒成立，这时f（x）是递增函数，与已知相悖，故排除含有-2的选项D，答案选B。

具备了差异取值验证法的思维和方法后，通过观察，在不同区间和范围内选取合适的差异特殊值，可以轻松自如地解决高考中的压轴题

（三）问题精进，综合分析高考选择题

例5（2014全国卷11题）若函数f（x）=kx-lnx在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是（）

分析：由已知条件考察函数的单调性涉及导数，依据函数在区间上单增，可知导数

观察四个选项都不含有0，第一步比较A、B选项的差异，取特殊值-1，①令k=-1时，原式化为，由x∈（1,+∞），显然不成立，排除含有-1的选项B,再令k=-2，原式化为由x∈（1,+∞），亦不成立，同理排除选项A。

第二步在选项C、D中，取差异值1，②令k=+1时，原式化为，由x∈（1,+∞），恒成立。故选择含有1的选项D，答案为D。

注：此题在寻求选项的差异时，观察到A、B、C选项均不含有1，选项D含1，不妨直接选取差异特殊值1。令k=1时，得1≥，一定成立，因此可直接判断答案D。

分析：本题考查函数的奇偶性和单调性，常规方法把此问题转化为|x|>|2x-1|,平方化为x2>（2x-1）2,求解不等式。

用差异取值验证法只需两步：第一步观察选项A、C和B、D的差异，选取特殊值0。①令x=0时，原式化为f（0）>f（-1）,即，即-1>ln2-0.5，显然不成立，故排除含有0的选项A、C。

第二步取选项B、D的差异值1.②令k=1时，原式化为f（1）>f（1），显然不成立，故排除含1的选项D,答案选B。

例7（2018全国卷市级统考）已知函数f（x）=-x3+3x2-mx-2m,若存在唯一的正整数x0，使得f（x0）>0,则m的取值范围是（）

第二步在选项C、D中取差异特殊值1.②令m=1时，原式化为f（x）=-x3+3x2-x-2=-x2（x-3）-（x-2）,对于上式当x>3时，f（x）<0恒成立，因此只需验证x=1、2、3时，这时f（1）=-1+3-1-2=-1<0,f（2）=-8+12-2-2=0,f（3）=-27+27-3-2=-5<0，故不埚正整数x0，使得f（x0）>0。综上所述m=1时不成立，排除含有m=1的选项D，答案选C。

如何恰当地选取合适的差异特殊值，既是运用差异取值验证法的关键，也是处理这类问题的难点，需要考生反复练习，增强观察明锐性和分析问题的能力