随机追踪策略预测钟差的理论分析

王玉琢 高 源 徐清华 张爱敏

(中国计量科学研究院，北京 100029)

1 引 言

“万物互联、联通共享”的理念引领着人类对未来的憧憬，逐步改变着我们的生活。准确稳定的时间频率是“互联共享”的必要条件，是导航定位、时空信息共享的基础。时间的稳健流逝性决定了时间计量必须滞后进行，而预测是保障当下和未来时间准确的有效手段。原子钟作为当代主要的精密计时工具，其可预测能力一方面与其硬件性能和工作条件有着本质联系，另一方面与原子钟数据的处理手段和预测方法直接相关[1,2]。国际计量局(BIPM)以原子钟可预测能力作为权重评价指标，产生协调世界时(UTC)[3,4]。美国国家标准与技术研究院(NIST)、德国联邦物理技术研究院(PTB)等国际先进实验室应用滤波降噪方法处理原子钟数据、提高其可预测能力。目前，原子钟预测方法主要包括两类：基于最小二乘拟合的预测方法[3]和基于Kalman filter的预测方法[5,6]。前者被BIPM采用计算协调世界时(UTC)，后者被美国NIST采用计算钟组纸面时，两种方法各有所长，被各国时间频率研究机构借鉴和发展。

在前期工作中，基于最小二乘拟合设计了一种鲁棒性的原子钟预测方法——随机追踪策略(random pursuit strategy)[7-9]，初步实验结果表明该方法具有较好的应用前景。本文以理论视角进一步阐述了随机追踪策略的基本思想、预测模型、不确定度分析以及关键技术参数优化等问题，为后续研究工作奠定了理论基础。

2 基本思路

随机追踪策略由一个预测器组构成[7-9]，其中每个预测器工作在一个独立的子空间，所有预测器对未来预测的加权平均作为最终预测结果。具体包括如下几个部分。

1)历史数据

设原子钟相位或频率数据的测量值向量为X,每个数据点间隔时间为T，则有

X=(x1x2…xn)

(1)

式中：X——历史数据样本，即一台原子钟相对参考钟或时标测量得到的相位差或频率差；xt——t时刻的相位差或频率差。

向量X作为原子钟测量的历史数据，用于预测原子钟未来的相位或频率变化。

2)随机分组

3)拟合函数

4)定义加权

5)加权平均

(2)

6)输出预测值

综上所述，随机追踪策略是基于一个预测器组构建的加权平均预测方法，它要求一个先决条件是历史数据向量X能代表原子钟输出频率或相位的特性，且向量X中绝大部分数据具有较高的可靠性。当历史数据与原子钟所有表现的实际特性有较大差异时，预测方法将会失谐。虽然加权平均方法并不能保证每一次预测得到的结果均能优于或接近最优预测值，但是随机追踪策略提供一种降低预测方法对离群值、异常值敏感性的新思路。

3 理论分析

3.1 钟差模型

(3)

预测器j的估计值在t时刻的公式为

(4)

基于子集内m(>3)个数据点利用最小二乘法进行拟合，组成一个超定方程为

(5)

系数矩阵A可以表示为

(6)

式中：t1,…,tm——预测器j中的m个数据点对应的时刻值。

(7)

式中：A-1——A的广义逆矩阵。

3.2 参数的相关性

(8)

式中：αj——拟合参数(时钟的相位、频率和频率漂移)；Z——t1,?,tn的真值。

K和A-1相似可以表示为

(9)

真值与测量值之间的误差表示为

ε=X-Z

(10)

将式(10)代入式(8)拟合参数为

(11)

为了得到αji的方差，式(11)右边两项的方差被写作

(12)

式中：αji——固定值，所以方差为0；εi——ε误差向量的第i个元素，测量误差被认为是独立同分布的；σ——测量值和真值之间的标准偏差。

(13)

式中：kij——矩阵K中第i行第j列的元素。

由于实际应用中原子钟输出真值无法获得，用残差的标准偏差来代替σ,它的估计值可表示为

(14)

(15)

根据式(11)可知，预测器j中的任意两个拟合系数之间的协方差为

(16)

假设误差独立同分布，式(16)右边被改写为

(17)

3.3 预测不确定度

(18)

(19)

也可写作

(20)

其中，

(21)

将式(17)代入到式(20)，预测值的标准不确定度为

(22)

3.4 最大化可预测能力

随机追踪策略(RPS)的预测值由每个预测器的输出经加权平均得到，可表示为

(23)

式中：gj——集合中预测器j中相对权重的中间变量。

+∑correlationterms

(24)

(25)

式(25)可用极值法直接求解，其解为

(26)

每个预测器的权重可以表示为

(27)

(28)

由式(28)可知，由随机追踪策略获得的预测值的不确定度小于预测器组内任意单一预测器的预测不确定度，也就是说基于此种权重策略的随机追踪策略具有更强的系统鲁棒性及预测能力。

4 结束语

随机追踪策略对钟差历史数据进行随机抽样分组，构建了由若干子空间构成的预测空间。综合考虑每个预测空间内的钟差数据特性，采用最小二乘方法建立原子钟行为模型，构造预测空间内钟差数据的独立拟合函数(预测器)，多个子空间相对独立形成预测器组。为了最小化随机追踪策略的预测不确定度，采用预测空间内样本的不确定度定义了预测器权重，经加权平均合并子空间预测值形成预测结果。通过随机分组、合并预测值等策略降低了预测方法对原子钟异常行为的敏感性，提高了历史数据中高质量数据点对未来预测的贡献，进而提升了原子钟的可预测能力，提高了预测方法的鲁棒性。

前期研究工作已表明随机追踪策略具有一定的优势和实用价值，着重从理论层面较为全面地阐述了基本原理和优化思路。实验研究与理论分析也表现出了不足之处：随机分组造成相同数据源每次预测结果不一致，即预测结果的重复性差；利用多次随机重新分组取平均方法可有效提高重复性，但引起较大运算量、造成算法执行效率低。

解决或缓解上述问题有如下两种思路。

1)优化随机分组设计：将每次随机分组修改为分组后的进出栈模式，即后续数据点逐步替代样本空间中时间最久的数据点，每次仅替换一个数据点，仅有一个子空间及拟合函数发生变化，这样可极大改善算法运行效率，同时可以提高算法预测的重复性。

2)提升硬件运算能力：随机追踪策略设计的基本结构是若干个独立的子空间，具备天然的并行计算优势。目前，GPU硬件成本急剧下降、运算能力不断提升，采用GPU辅助随机追踪策略可大幅提升运算效率，为预测样本数据的大规模重组提供了可能。