椭圆、双曲线离心率的求解方法

李伟 蒋金凤

摘要：圆锥曲线的离心率是解析几何的重要知识点同时也是高考考察的重点内容。有很多学生觉得很难驾驭，其实我们在做题的过程中只要掌握方法和规律，就没有问题了。在研究几何问题时无非就是“数”，不行就研究“形”，再不行就数形结合同时加上化归转化。本文主要从数和形两方面入手，分别用“定义法”、“方程法”（包括直接列示和构造法）、“平面几何法”（寻找相等关系和不等关系）阐述了离心率的求法。并且配备了相应的联系，有助于学生实践。

关键词：椭圆;双曲线;离心率

离心率是圆锥曲线的一个重要的几何性质，它反映了圆锥曲线的形状。椭圆的离心率反映的是其圆扁程度，双曲线的离心率反映的是其开口的大小.由于抛物线的离心率是1，所以我们不对其进行研究.由于在求解离心率时题型较为灵活，所以很多同学不是很容易上手.下面我就求离心率问题谈谈其解法，希望对同学们能有所帮助！

一、利用平面几何知识简化计算

例已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是正三角形，求这个椭圆的离心率.

分析：本题已知椭圆的两焦点和椭圆上的两个点，那么应该用到椭圆的定义.又因为出现了一个正三角形所以我们应该画个图来直观感知一下.通过画图我们会发现：F1F2的长度即为2c而它是正三角形△ABF2的高线 ，那么该三角形的边长可以用c表示，再由椭圆的定义就可得a和c的关系式，得解.

解法一：画草图如下图所示：

因为F1、F2是椭圆的两个焦点

所以，│F1F2│= 2c

又过F1且与椭圆长轴垂直的直线

交椭圆于A、B两点且△ABF2是正三角形

所以，线段F1F2是正三角形的高线，由平面几何知识可得：

│AF2│=   ， │AF1│=   由椭圆的定义得：

│AF1│+│AF2│= 2a

所以， + = 2a      所以e =  =

解法二：设椭圆的标准方程为：+=1（a>b>0）

因为F1为椭圆的左焦点，且直线AB过F1与x轴垂直

所以，点A的横坐标为-c

将-c代入椭圆的标准方程解理得：

所以，│AF1│=    因为△ABF2是正三角形

所以∠F1AF2=60°

在RT△AF1F2中：tan 60°===  ，因为b2= a2 -c2

整理得： -+2ac = 0  两边同时除以a2

得：e2 + 2e -= = 0  解得： e= （舍负） .

解法三：由解法一知： │AF1│=

由解法二知： │AF1│=

所以 ，   ， 剩余的计算同解法二.

解法四： 设椭圆的标准方程为：+=1（a>b>0）

由解法一知： A（-c， 因为点A在椭圆上

所以，将其代入椭圆的标准方程得：+=1 ③

将b2= a2 -c2代入③整理得：3c4+3a4-10a2c2 = 0  两边同时除以a4 得：3e4-10e2+3=0  解得：e2=1（舍）或

所以，e= （舍负） .

小结：本题解法一体现了正三角形边角关系的优越性，结合椭圆的定义很轻松地得到了a 和c的关系，简化了计算，这也是用定义的优越性.解法二用了解方程求点的坐标的方法，然后再利用正三角形列出等式关系，再进行计算的方法. 解法三：分别用代数和几何法求出AF1的长度列出等式得方程.解法四利用正三角形的性质求出点A的坐标，利用点在椭圆上代入的方程，但是运算量较大.以上四种方法对比我们发现如果能较好地利用曲线的定義和平面几何的相关知识，能避免大量的运算，提高准确率和解题速度.

作者单位：1.通州区永乐店中学 2.通州区永乐店中学