解答函数零点个数问题的思路

谢定亮 魏有莲

函数零点的个数问题是各类试题中的常见问题，常与不等式、数列、三角函数等知识相结合，主要考查同学们对问题的转化和分析能力.本文主要谈一谈求函数零点个数的三种方法：定义法、图象法和运用零点存在性定理.

一、定义法

所谓定义法，指是根据函数零点的定义解答问题的方法.我们把使f（x）=0的实数x叫作函数y=f（x）的零点.在利用定义法解题时，我们可以直接令函数f（x）=0，通过解方程来求出x的值，这样就可以直接判断出函数零点的个数.

例1.已知函数 ，试求该函数

分析：该函数是分段函数，我们需要进行分段讨论，可以根据函数零点的定义，令 ，分别求出对应区间上的x的值，再进行汇总，即可得出函数零点的个数.

二、圖象法

有些函数解析式的结构较为复杂，很难直接求出函数的零点，我们可以将已知函数拆成两个新的函数，将函数零点问题转化两个新函数的交点的个数问题来求解.利用图象法来解题就是通过分析函数的图象，求得函数零点的个数.合理对函数解析式进行拆分是解题的关键.

例2.求函数 在区间 上的零点的个数.

分析：本题很难直接求出函数的零点，需要运用图象法来解题.首先令f（x）=0，构造两个新的函数y=2x和y= ，，将函数零点的个数问题转化为函数 的交点的个数问题，作出两个函数的图象，分析其交点情况，便可得出函数f（x）零点的个数.

值得注意的是，函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点.

通过上述分析，我们可以发现：定义法较为直接，比较容易操作;运用图象法解题需要进行适当的转化;利用零点存在性定理解题较为复杂，有时需要用到导数知识.因此在求函数零点的个数时，我们首先要考虑定义法和图象法，然后再考虑利用零点存在性定理来解题.

（作者单位： 福建省三明第一中学）