初中数学竞赛中因式分解方法

郑婷文

摘 要：因式分解是初中数学的重点和难点，也是初中数学竞赛中重要的组成部分，为了对学生进行思维训练，激发学生对数学学习的兴趣，本文通过一些数学竞赛的具体实例对竞赛中因式分解方法分类讨论。

关键词：初中数学竞赛;因式分解方法;数学思想

1、因式分解的重要性

数学竞赛所涉及到的知识源于教材，也是教材内容的延伸与拓展，其中渗透的一些数学思想，对学生有着重要的启发作用。对于因式分解的学习，大多数学生在练习竞赛题时，只在不停地重复做题，一味的套公式背口诀，而不能总结因式分解方法，更不能发现其中蕴含的数学思想[1]，导致学生在遇到新的题型时，不能做到举一反三。因此只有理解其中的含义，将思想方法总结到位，才能更易掌握因式分解的内容。

2、竞赛中因式分解方法

把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解[2]。因式分解与整式乘法互为逆变形：

其中，m为公因式，可以表示单项式或多项式。以下就是一些常用的因式分解方法。

2.1 提取公因式法

例1 分解因式（x-y）2n+1+2（x-y）2n（y-z）-（x-z）（x-y）2n

分析：注意到（y-x）2n=）（x-y）2n，

原式=）（x-y）2n [）（x-y）+2（y-z）-（x-z）] =（x-y）2n（y-z）。本题考查的是提公因式法，将（x-y）2n作为公因式提取出来，要注意的是括号中要化到最简。

2.2 公式法

因式分解中的公式法是应用最广泛的方法之一，公式应用得当，能使解题变得游刃有余。因式分解中的常用公式有平方差公式、完全平方公式、三项和完全平方公式、完全立方公式、立方和公式、立方差公式等[3]。许多竞赛题中，会将两种及以上的公式结合进行考察，这就要求学生熟练掌握公式的用法。

例2 分解因式：a6-b6

分析：解法一：先平方差，再立方差。

原式=（a3 ）2-（b3 ）2=（a3-b3 ）（a3+b3 ）=（a-b）（a2+ab+b2 ）（a+b）（a2-ab+b2 ）=（a-b）（a+b）（a2+ab+b2 ）（a2-ab+b2 ）

解法二：先立方差，再平方差

原式=（a2 ）3-（b2 ）3=（a2-b2 ）（a4+a2 b2+b4 ）=（a2-b2 ）（a4+2a2 b2+b4-a2 b2 ）=（a-b）（a+b）[（a2+b2 ）2-a2 b2 ]=（a-b）（a+b）（a2+ab+b2 ）（a2-ab+b2 ）

就本题而言，解法一明显优于解法二，对于很多学生来说，他们会认为a4+a2 b2+b4是不能再进行因式分解的，因此因式分解的方法可能会不相同。

例3 已知248-1可以被60到70之间的某两个数整除，则这两个数分别是                 和                。

分析：248-1=248-12=（224+1）（224-1）=（224+1）（212+1）（212-1）=（224+1）（212+1）（26+1）（26-1）=（224+1）（212+1）（26+1）（26-1）（23+1）（23-1）.将题中的式子因式分解后发现（26+1）、（26-1）这两项恰好在60到70之间，因此248-1可以被65和63整除，本题的答案为65和63。题目所要用到的公式并不复杂，这题的关键在于要将因式分解到底，随后找出数值符合题意的因式。

2.3 （双）十字相乘法

例4 分解因式：x2-2xy-8y2-x-14y-6

分析：

原式=（x-4y-3）（x+2y+2）

对于常见的二次六项式，可以利用雙十字相乘法将各平方项系数和常数项分解，十字相乘的得交叉项系数，注意需要同时确保三个十字都能满足对应的交叉项。

2.4 主元法

当题目中含有多个字母时，可选择一个作为主要的“元”，将其他字母看作常数，并按之降幂排列，然后再用十字相乘法[4]。上一节中例4也可以利用主元法进行因式分解。

例4解法二：原式=x2+（2y+1）x-8y2-14y-6=x2-（2y+1）x-2（4y+3）（y+1）=（x-4y-3）（x+2y+2）.

2.5 分组分解法

对于只含有四项的因式而言，可以采用“两两分组”和“三一分组”两种方法进行分解。

例5 分解因式：ax2 （y3+b3 ）+by（bx2+a2 y）.

分析：原式= axy3+ab3 y+b2 x2 y+a2 by2=xy（ay2+b2 x）+ab）（ay2+b2 x）=（ab+xy）（ay2+b2 x）

本题采用的是两两分组的方法，对于项数较多的题，首先要观察各项系数，把系数相同或有规律的项结合分组，问题往往能迎刃而解。

例6 分解因式1+a+b+c+ab+ac+bc+abc.

分析：原式=（ab+a+b+1）c+a+b+c+1=（ab+a+b+1）（c+1）=[a（b+1）+b+1]（c+1）=（a+1）（b+1）（c+1）

2.6 换元法

如果题目中含有一些重复的单元，那么可以尝试使用换元法，可使题目整体变得简洁易解。

例7 分解因式：（6x-1）（4x-1）（3x-1）（x-1）+9x4

分析：原式=[（6x-1）（4x-1）] [（3x-1）（x-1）]+9x4=（6x2-7x+1）（12x2-7x+1）+9x4.

设6x2-7x+1=t，原式=t（6x2+t）+9x4=（9x2-7x+1）2.

2.7 添拆项法

例8 分解因式：x5+x+1

分析：解法一：原式=x5-x2+x+1+x2=x2 （x-1）（x2+x+1）+x+1+x2=（x2+x+1）（x3-x2+1）.

解法二：原式=x5+x4+x3+x2+x+1-x4-x3-x2=（x3+1）（x2+x+1）-x2 （x2+x+1）=（x3-x2+1）（x2+x+1）

例9 分解因式：x3+2x2-5x-6.

分析：解法一：拆常数项

原式=x3+1+2x2-5x-7=（x+1）（x2-x+1）+（x+1）（2x-7）=（x+1）[（x2-x+1）+（2x-7）]=（x+1）（x2+x-6）=（x+1）（x-2）（x+3）.

解法二：拆一次项

原式=x3+2x2+x-6-6x=x（x2+2x+1）-6（x+1）=x（x+1）2-6（x+1）=（x+1）[x（x+1）+6]=（x+1）（x-2）（x+3）.

解法三：

原式=（x3+x2 ）+（x2-5x-6）=x2 （x+1）+（x+1）（x-6）=（x+1）（x2+x-6）=（x+1）（x-2）（x+3）.

對于很多题目而言，添项、拆项的方法并不止一种，有时可以通过添拆项达到可以配方的目的，或者将因式拆解成一次因式的形式。当然，添拆项的意义并不止于此，只要用心思考大胆尝试，一定能有新的发现。

2.8 待定系数法

待定系数法是适用范围最广的一种解法，当一个方程不存在有理根时，因式定理就不再适用于因式分解，因此需要选择待定系数的方法，但是这个方法计算量较大，一般不作为首选解法[5]。

例10 分解因式：x4-x3+4x2+3x+5.

分析：设原式=（x2+ax+b）（x2+cx+b），其中a，b，c，d为整数，展开得，原式=x4+（a+c） x3+（b+d+ac） x2+（ad+bc）x+bd，由多项式恒等定理，得

由于b，d是整数，故解得或，当然也可能是或，两个二次项系数相同，故将代入，解得a=1，c=-2.故原式=（x2+x+1）（x2-2x+5）.

三、总结

初中因式分解的基本步骤有“一提，二套，三交叉，四分组”。题目可能并不复杂，要在思想上能做到一个“巧”字，才能一击即中。但竞赛题中因式分解常常会以一题多法的形式对学生进行考验，这就要求学生熟悉掌握所有解题方法并能熟练运用。

参考文献：

[1]朱菊根. 数学思想在初中数学教学中的渗透[J]. 新课程学习：上（2期）：72-73.

[2]房庆伟. 初中数学因式分解方法探析[J]. 语数外学习：八年级， 2014， 000（003）：P.53-53.

[3]魏江. 初中因式分解方法[J]. 读写算（教育教学研究）， 2013， 000（037）：209-209，210.

[4]范端喜.数学奥林匹克[M].上海科学普及出版社，2016.

[5]钱卫. 初中数学典型”易错题”的分析与思考[J]. 考试周刊， 2011（86）：84-86.