例谈剖析习题中培养学生的思维能力

陈冬发

摘 要：数学习题课是巩固学生基础知识、发展学生数学能力、增强学生数学素养的常用方式，本文运用一道课本习题，穿插“特殊到一般”、“异中存同”、“同中求异”的思想方法，浅谈培养学生思维能力的策略。

关键词：数学思维能力;形象思维;逻辑思维;创造性思维

数学思维能力是数学教育的重要方面，也是学好数学的关键因素，教师应该时刻注意学生思维能力的培养。本文以一道课本习题为例，在“思、解、练”的过程中，谈谈培养学生思维能力的方式。

华东师大版八年级数学第二学期教材P125第11题：如图（1），正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是另一个正方形A'B'C'O的一个顶点。如果两个正方形的边长相等，那么正方形A'B'C'O绕点O无论怎样旋转，两个正方形重叠部分的面积总是等于一个正方形面积的四分之一。想一想，这是为什么？

一、“会思”是学生思维能力之源，“善思”是学生具体形象思维和抽象逻辑思维成长的捷径

学生认知具体数学问题的解决过程，有利于提高学生直观、形象、猜想、抽象思维能力。针对上面这个题目，先让学生观察、思索、想象、感知，学生会发现正方形A'B'C'O绕点O旋转时存在两种特殊情况：图（2）重叠部分为△OBC;图（3）重叠部分为正方形OMBN。

显然，在图（2）中， S△OBC = S正方形ABCD;在图（3）中，S正方形OMBN = S正方形ABCD。至此，学生验证了在两种特殊情况下结论正确，确定了信心，预见了问题解决的希望。

对于一般情况，部分学生的思路往往会堵塞，需要教师适时、适量、适当的启发与点拨，既要暴露学生的薄弱环节，纠正学生的错误思维，又要引导学生有效地分析处理问题。教学中，教师要不断给学生搭建一个有能力参与思考的平台，“跳一跳，能够摘到桃子”，“争取学生热爱自己的学科”，通过这些平台，发挥学生的主观能动性，学生才可能顺利达到目标。有些学生观察、比较图（1）～图（3）重叠部分图形面积之间的关系，立刻得到了解决问题的思路。

S1：对比图（1）和图（2）会想到“割补法”思想，△OEB≌△OFC，从而S四边形OEBF = S正方形ABCD。

S2：对比图（1）和图（3）同样会想到“割补法”思想，如图（4），Rt△OME≌Rt△ONF，从而S四边形OEBF=S正方形ABCD。

两位同学在运用“全等割补法”时，教师需要提醒学生“慎思”三角形全等的条件，从感性认识上升为理性认识。

二、“精解”是学生思维能力的体现

学生的解答过程能够清晰地反映出学生认知、理解的程度，以及解决问题的思路与依据，“善于表达”能够锤炼学生的抽象概括、逻辑推理思维能力。“熟思”之后，学生得到以下三种解答过程。

三位同学在自己对问题的认知后分别给出了完整的解答过程，都明确“特殊”与“一般”的依存关系，从“特殊”到“一般”证明了结论的正确性，S5对特殊情况认识更深刻，解答更直接、更简洁、更适用。

三、“异构”中训练学生的创造性思维能力

习题的解决能够达到巩固基本知识的作用，“举一反三，触类旁通”，尝试把问题进行改造能够收到“意外”的效果，激發学生的好奇心，培养学生的创造性思维能力。“让学生们像向往幸福一样幻想在自己所教的学科领域有所创造”是教学活动的理想境界，有时先让学生自己把问题“异构”，然后教师与学生共同 “异构”，最后一起解答。

变式1. 如图（5），点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，Rt△PGH的两直角边PG、PH分别交AB（或AB的延长线）、BC（或BC的延长线）于点E、F.求证：PE=PF.

学生能够很好地把自己的认知迁移到该问题的解决过程中，同时该解答也适合Rt△PGH的直角边PG交AB的延长线于点E、或者直角边PH交BC的延长线于点F的情况。

变式2.如图（7），点P在正方形ABCD的对角线BD上，且PB=2PD，Rt△PGH的两直角边PG、PH分别交AB、BC于点E、F，若正方形的边长为a，试求四边形PEBF面积的大小。

图（7） 图（8）

学生自然会发现与前面的问题不相同，重叠部分的面积不再是该正方形面积的四分之一，但相近，如图（7），可以运用“割补法”思想，简解如下。

学生解答后可以认识到，这个问题虽然与原问题不完全一样，但是重叠部分面积大小仍然保持不变。

变式3. 如图（7），点P在正方形ABCD的对角线BD上，且PB：BD=k，Rt△PGH的两直角边PG、PH分别交AB、BC于点E、F，试求四边形PEBF面积大小与正方形ABCD面积大小的关系？

有些思维敏捷的同学立刻给出以下解答思路：

变式3是变式2的一般情况，从S7的解答过程可知，用一般情况的比值PB：BD=k替代PB= BD得到S四边形PEBF =k2S正方形ABCD.

另外，学生发现0

变式4.如图（9），点P在正方形ABCD的对角线BD上，且PB=2PD，Rt△PGH的两直角边PG、PH分别交AB、BC的延长线于点E、F，若正方形的边长为a，试求四边形PEBF面积的大小。

图（9） 图（10）

这里，如图（9），学生会发现仍然存在Rt△PME≌Rt△PNF，可以适用S7的解答过程。

同时，学生也会发现正方形与直角三角形重叠部分是五边形PEBCQ，不是四边形PEBF，S五边形PEBCQ = S四边形PEBF- S△CQF，从而两个图形重叠部分的面积变小。

变式5.如图（7），点P在正方形ABCD的对角线BD上，且PB=2PD，Rt△PGH的两直角边PG、PH分别交AB、BC于点E、F，若正方形的边长为a，△PGH绕直角顶点P旋转，则正方形ABCD和直角三角形PGH重叠部分面积怎样变化？试写出其最大值与最小值.

从变式2、变式3、变式4的感知可知，学生得出以下结论。

S9：△PGH绕直角顶点P逆时针旋转，重叠部分面积经历“①保持不变、②逐渐变小、③保持不变、④逐渐变大”四个阶段的循环过程。

第①阶段PG与线段AB相交，且PH与线段BC相交，如图（7），重叠部分的面积保持最大值 a2不变;

第②阶段PH与线段CD相交，如图（9），重叠部分的面积逐渐减小，达到最小值 a2;

第③阶段PG与线段CD相交，且PH与线段AD相交，重叠部分面积保持最小值不变，如图（10），最小值等于正方形PMDN的面积： a2;

第④阶段PG与线段AD相交，重叠部分的面积逐渐增大，达到最大值 a2.

学生直觉感知，变式5中把“PB=2PD”改为“PB：BD=k（

变式6. 已知点P在正方形ABCD的对角线BD上，且PB：BD=k（0

学生先画出四个代表性位置的图形，如图（11），略解如下。

S10：第①阶段PG与线段AB相交，且PH与线段BC相交，重叠部分的面积保持最小值不变;

第②阶段PG与线段BC相交，重叠部分的面积逐渐增大;

第③阶段PG与线段CD相交，且PH与线段AD相交，重叠部分面积保持最大值不变;

第④阶段PH与线段AB相交，重叠部分的面积逐渐减小。

“知识不断革新，能力永远年轻”，新课程改革迫切要求教育工作者从“能力立意”向“创新”突破。教师在教学活动中，不但要传授知识技能，而且要注重学生能力的培养，特别要注重学生创造性思维的培养与发展。教材中许多典型的习题具备扩展开拓的空间，等待大家去挖掘运用。当然，在运用过程中，教师既要考虑学生接受能力的实际情况，又要考虑学生思维能力的限度和潜能，遵循学生是学习的主体原则，任何的拓展都要经得起实践的检验，切不可以“揠苗助长”。

参考文献：

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[4]赵超.初中数学教学中有效培养学生逻辑思维能力的策略探讨[J].读与写（教育教学刊），2018（10）.