谈竞赛数学思维策略与其他非数学领域的联系

叶鋆纯 金铃

摘 要：众所周知，竞赛数学目的就是训练学生的思维，而使学生思维得到训练的载体则是竞赛数学中的思维策略。笔者将举例谈论竞赛数学策略与其他非数学领域的联系，阐述竞赛数学的学习能给其他领域的学习带来怎样的帮助，从该角度论述竞赛数学的教育意义。

关键词：数学竞赛;思维策略;其他学科

数学是思维的科学，而竞赛数学能让学生在常规的数学学习之余发展创新性思维能力。常规的数学教学讲定理讲概念，竞赛数学通过数学问题阐述其中蕴含的思维策略。竞赛数学思维策略大致有转化与化归、数形结合、反证法、类比与联想等。有大量文献阐述了掌握这些思维策略教育意义，但鲜有文献研究竞赛数学思维策略与其他非数学领域的联系，以下笔者将举例谈谈这些策略在非数学领域中的应用。

一、化归策略在问题解决中的应用

化归策略即将待解决的问题逐步转化为已解决的问题，最终使原来的问题得解。因此，在涉及问题解决的学科中该策略都能发挥出其作用。如以下一道物理题[1]：光滑斜面长为α，宽为b，倾斜角为θ，一物体从斜面左上方点P水平射入，而从斜面右下方顶点Q离开斜面，求入射初速度。该题物理情境描述的是物体在三维立体斜面上的运动，学生理解起来较为抽象，很难分析出物体在斜面上做“类平抛运动”。所以此处应运用化归策略，现将对题目情境降为二维侧视图和垂直斜面视线的俯视图，再将物体运动分解为在光滑斜面上沿b方向的速度为v的匀速直线运动和沿α方向的初速度为零，加速度为a=gsinθ的匀加速直线运动，进而转化为以前熟悉的会解决的问题。

二、运用类比策略学习科学哲学

在看似与竞赛数学风马牛不相及的科学哲学研究领域中，也不乏需用到竞赛数学策略之处。比如《Some Problems for Conditionalization and Reflection》[2]中的该文段：

理解好这一文段是学习这篇文章的关键之处。但是，很多没学习过竞赛数学的哲学学生很难看懂从到所隐含的哲学理论，即使他们了解过全概率公式，但是如果不会应用类比的策略是很难理解这一文段的。

在这里我先举一个通俗一点的例子：飞机中弹而坠毁。经验告诉我们，飞机中弹后有可能坠毁有可能不坠，中弹个数越多越容易坠毁，而且飞机中弹的个数是有对应概率的。

上述式子中P（B）表示飞机坠毁的概率，P（Ai）表示中i个弹的概率，P（B/Ai）表示中i个就坠的条件概率。全概率其实就是不同路径概率的加权平均数，该平均数描述的是结果B发生的概率。

接着，类比上面的例子，设事件X：“任何事件”;Dt（X）=pt：“未来对X的信念度”，t=0，1，2，3…。只需把Dt（X）=pt类比成Ai;X类比成B;D0是概率符号P就不难理解文中“”表示：在未来，对事件X的信念度为Dt的情况下，事件C实际发生的概率。进而把它代入，不难理解该式子表示：不管我未来对X的信念度怎样，未来t时的信念度乘上该信念度下事件X实际发生的概率，这t个路径的概率的加权平均数都会等于我现在对事件X的信念度D0（X），因为未来信念度怎样都不会影响我的现在的信念度。

三、反推法策略在众多学科中的应用

在生物学的发展进程中，生物学家常用反推法去发现和解决问题。如[3]很久以前在探索基因控制蛋白质的合成过程时，他们在以DNA作为遗传物质的生物中发现转录是以DNA的一条链为模板合成了RNA。一开始他们将生物分为以DNA或以RNA作为遗传物质的两类。于是他们进行反向思考： 既然前者能以DNA为模板合成RNA，那么是否存在以RNA为模板来合成DNA的生物？经历了一系列研究后他们终于在RNA病毒——劳氏肉瘤病毒中找到了逆转录酶，证明了在RNA病毒中能以RNA为模板合成DNA。该策略除了在学习理科能发挥用处，在学习政史地等科目时也颇有裨益。如在学习美国南北战争这段历史时，我们假设现在南北经济形态反转，北方是奴隶种植园制度，南方是资本主义工商业，显然南方也肯定不会允许北方奴隶制存在。如此反转之后我们不难理解，这场战争必然发生，其根源在于理解南北经济制度的冲突。进而我們探究北方胜利的原因，直觉告诉我们可能是兵力等外在条件北强南弱。假设现在战争条件南强北弱，但十六世纪是资本主义发展的时期，此时走资本主义道路顺应时代潮流，必得到广大人民群众的拥护。通读历史我们知人民群众才是那既能载舟亦能覆舟之水，故由上面的反推法可以看出：美国南北战争势在必行，且北方胜利亦是历史的必然选择。

四、结束语

从以上各例不难看出，竞赛数学所训练的数学思维策略与其他非数学领域的学习都有密切联系，或多或少地帮我们培养学习其他学科所需的思维能力。我们应发挥好竞赛数学对学生思维的培养作用，避免其沦为升学的评价工具，让更多人看到竞赛数学冰冷美丽之下这份火热思考的意义，使竞赛数学发挥出他该有的光彩。

参考文献

[1]施亚明.例谈化归思想在物理解题过程中的运用[J].物理通报，2015（09）：47-50.

[2]Frank Arntzenius.Some Problems for Conditionalization and Reflection[J].The Journal of Philosophy，Vol.100，No.7（Jul.，2003）：356-370..

[3]陶忠华.例析生物学教学中逆向思维的运用策略[J].生物学教学，2017，42（07）：25-26.

作者简介：叶鋆纯（1996.7-），女，汉，广东汕头人，佛山科学技术学院研究生在读，研究方向：学科教学数学;

金铃（1996.7-），女，汉，贵州黔南人，研究生在读，研究方向：学科教学数学