浅析韦达定理在中学数学中的应用实践

冯帆

在新世纪中学数学的教学中，越来越多的人关注利用创新思维来解决问题，其中化归思想方法在解决数学问题中起到了不可替代的作用。其中韋达定理就是其数学思想方法中一个重要的定理，韦达定理贯穿中学数学整个学习过程，韦达定理能够描述根与系数之间的关系，韦达定理能够在代数，几何等方面应用广泛，韦达定理能够提高学生的逻辑思维能力以及巧妙解决问题的能力，韦达定理在解决方程，函数，数列以及几何图形方面起到了不可或缺的地位。

1韦达定理在方程中的应用

韦达定理主要解决的是根与系数之间的关系，例如，在一元二次方程中，我们可以利用韦达定理来快速解决根的问题，在一元二次方程的方程中首先考虑的是根是否存在的问题，此时，我们需要重新考虑，即利用大于或等于0来判断一元二次方程是否存在两个实数根，利用韦达定理的前提条件是需要，此时我们再利用韦达定理，根据给定的条件来完成根的求解。

2韦达定理在函数中的应用

2.1韦达定理能够巧妙地解决函数交点的问题

在中学数学教学中，有不少学生会因为两函数相交求交点等的问题而困惑，我们可以通过韦达定理来巧妙解决两函数相交的交点问题，例如，我们采用二次函数与一次函数相交这一类问题来巧妙说明说明利用韦达定理的简便性。

我们以二次函数与一次函数相交为例，例如，与两个函数相交，求这两个函数的相交的两坐标的中点坐标。

在中学代数研究中，将函数归纳为多项式、方程整合起来的形式，在某种意义上说，函数是一种特殊的方程，通过将两个特定函数的相交转为为一元二次方程，此时利用韦达定理能够快速解出函数相交中点的准确坐标，能够简便运算，韦达定理在函数相交等一系列问题上做出了不可或缺的贡献。

2.2韦达定理与三角函数的综合应用

韦达定理能够巧妙的处理三角函数之间与代数之间的变量关系，通过三角函数之间正弦与余弦变换建立等式，再通过合适的条件下，然后利用韦达定理进行求解。

通过上述例题与具体的解析，我们可以看出来，此类题目需要利用韦达定理的熟练应用与正弦余弦之间的相互转换，需要学生具有较强的发散思维与逻辑思维能力。

3韦达定理在某些特定数列中的应用

利用韦达定理可以解决某些特定数列的通项和证明等一系列的问题，韦达定理在一定条件下使某些特定的数列化繁为简，使问题变得更加简单明了。对于递推数列，要巧妙利用韦达定理，将其转化为必须符合一元二次方程的结构，这就要求递推式的结构必须满足连续两项的对称二次项结构。

通过观察递推式有二次和对称的特点，根据这些特点进行对递推式进行不同的变形与整理。再通过改变数列脚标的数值使结构符合一元二次方程的结构，然后再利用韦达定理进行简便的运算。

4韦达定理能够简便几何中的数值运算

韦达定理在几何中广泛应用，在求解直线与几何图形所截得的弦长公式中广泛应用，在椭圆（双曲线或者抛物线）与直线交点为。则或者

在解决圆锥曲线问题中的中点弦问题，一般采用根与系数的关系法：首先将直线方程代入到圆锥曲线的方程中，经过整理消元可以得到方程，此时方程若为一元二次方程，则可以利用韦达定理进行简便运算，通过根与系数之间的关系与中点坐标公式建立等式进行求解。再通过圆锥曲线方程与直线方程消元得到方程，此时要判断联立的方程是否符合利用韦达定理前提条件，首先要判断是否为一元二次方程，在判断二次项系数是否为0，之后在进行简便运算。

总之，运用韦达定理能够可以快速求出两个方程根之间的关系，能够在方程，函数，数列，平面几何等方面有着体现，运用韦达定理可以提高学生的创新能力与创造能力以及综合分析数学的能力。

参考文献

[1]张依淼，童扬平，徐章韬.韦达定理课程改革的理据[J].中学数学，2015（22）：60-62

[2]肖世安.运用韦达定理解题应注意的问题[J].中学数学教学参考，2015（21）：69-70