探究2020年武汉市中考网格作图题

刘利城

摘要：2020年武汉市中考试卷第20题，是一道无刻度直尺网格作图题。本文通过新课程标准解读网格作图的背景，并对该题进行探究，从不同的角度对该题的第（3）问提出了四种不同的解法。在此基础上进一步思考，在网格中如何过线外一格点作已知直线的对称点。并提出了平时教育教学中学生需要掌握九大网格作图基本技能。

关键字：无刻度直尺;网格作图;对称;解法探究

一、网格作图背景解读

初中阶段，网格图最早出现在人教版课本七年级下“平面直角坐标系”里。网格中的几何作图题是天津市近几年探索的新题型，具有立意新颖、综合性强、思维含量高等特点，能有效的考查学生的数学核心素养。在2019年武汉市四月调考中，武汉市也引入了网格几何作图题，从此网格作图题在中考正式登场，在中考考题中的网格几何作图题只允许用无刻度的直尺来进行作图。本文笔者以2020年武汉市中考数学试卷第20为例进行拓展研究，以期抛砖引玉。

二、试题呈现

在8×5的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（3，4），B（8，4），C（5，0）.仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题：

（1）将线段CB绕点C逆时针旋转90°，画出对应线段CD;

（2）在线段AB上画点E，使∠BCE=45°（保留画图过程的痕迹）;

（3）连接AC，画点E关于直线AC的对称点F，并简要说明画法.

三、解法探究

（1）直接旋转可得，如图1

（2）思路：由（1）可知 ABC是等腰直角三角形，要作∠BCE=45°，即作∠BDC的角平分线。由等腰三角形三线合一知，取BD的中点即可。

作图方法：如图2取格点M、N，连接MN交BD于点H，连CH交AB于点E，E点即为所求。

证明：∵DN∥AB，BM：DN=1：1

∴DH=BH

即H为BD的中点

∵ ABC为等腰直角三角形

∴CH平分∠BCD

∴∠BCE=45°，即E点为所求

（3）分析：若E、F关于AC对称，则AC垂直平分EF，即AE=AF，故此问可以传化为在OA上求作一点F，使得AE=AF。

思路1：四边形OCBA为菱形，对角线AC平分∠BCO，只需作∠OCH=45°即可。

作法1：取点H（0，5）连接CH交AO于F，F即为所求。

证明：∵OH=OC=5∴ OCH为等腰直角三角形，∠OCH=45°

∵四边形OCBA为菱形∴AC平分∠OCB，∠OAB

∠ACO=∠ACB，∠OCH=∠BCE=45°

∴∠ACF=∠ACE

∠CAF=∠CAE，AC=AC

∴ CAF≌ CAE

∴AF=AE，CE=CF

∴AC垂直平分EF

即E、F关于直线AC对称

思路2：可以通过先算后画，这也是解决网格作图问题的一种常用方法

因为CE垂直平分BD，所以BE=DE，通过勾股定理计算出BE的长度，再根据AE：BE=AF：OF构造分点F

作法2：如图5，取点H，连接CH交OA于点F，F即为所求。

证明：如图4，设BE=x，则HE=HB-BE=7-x

∵CE垂直平分BD ∴BE=DE=x

在 DHE中，DH=1，HE=7-x，DE=x

即

解得：

AE=AB-BE= ，AE：BE=

∵AH∥OC，∴ ∽

∴

OA=AB=5

∴AF=AE

∴AC垂直平分EF

即E、F关于直线AC对称

思路3：菱形OABC关于直线AC成轴对称图形，可以根据对称性作图

作法3：如图6，连接AC、BE交于点H，连接BH交OA于点F，点F即为所求。

证明：由对称性易知： OCH∽ BCH

∴∠HOC=∠HBC ，∠AOC=∠ABC

∴∠AOE=∠ABF

AO=AB∠OAE=∠BAF

∴ OAE≌ BAF

∴AE=AF

∴AC垂直平分EF

即E、F關于直线AC对称

思路4：如图7，菱形OABC关于直线AC成轴对称图形，可根据对称性作图。如图7，由第（2）作图知BD的中点M是小正方形对角线的交点，可根据对称性作出M关于AC的对称点N，CN与OA的交点F，即为所求。

作法4：如图7，连接小正方形对角线得交点N，连接CN交OA于点F，F即为所求。

证明：计算易知AM=AN= ，CM=CN= ，AC=AC

∴ CAN≌ CAM

∴∠ACF=∠ACE

AC=AC，∠FAC=∠EAC

∴ CAF≌ CAE

∴AF=AE

∴AC垂直平分EF

即E、F关于直线AC对称

四、进一步思考

题目的解法暂告一段，本题第（3）是作E点关于AC的对称点F，是建立在四边形OABC是菱形的基础上。笔者进一步思考，对于一般的情况，在网格中如何过线外一格点作已知直线的对称点。

问题：如图8，作C点关于AB的对称点

分析：根据轴对称的性质，如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。所以，我们想要完成这道题目，需要过点C作线

段AB的垂线段，加倍延长垂线段，就可以了。

作法：如图9，过C点作CD⊥AB，倍长AC至F，过F作FM∥AB交CD于M，M即为所求。

五、教学反思

此题属于“综合与实践”范畴，《义务教学数学课程标准（2011版）》要求达到

结合实际情境、经历设计解决具体问题的方案，并加以实施的过程，体验建立模型、解决问题的过程，并在此过程中，尝试发现和提出问题.通过对有关问题的探讨，进一步理解有关知识发展应用意识和能力。笔者认为网格作图包括以下几种基本技能：作定长线段、线段取定比分点、过直线一点作已知线段的平行线、作已知线段的垂线、作已知线段的垂直平分线、过直线外一点作已知线段的对称点、作角平分线、作一个角等于已知角、作旋转指定角等等。课堂教学是落实核心素养的基础环节，教师应紧紧围绕《标准》开展课堂教学，循序渐进地提高学生的数学素养.针对网格作图基本技能应强化训练，学生只有熟练掌握基本技能和方法，在遇到同类问题时才会显得游刃有余。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]北京师范大学出版社，教育部基础教育课程教材专家工作委员会.《义务教育数学课程标准（2011版）》解读[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[3]贯忠喜，陈健.多角度探究2017年天津市中考网格作图题[J].中国数学教育（初中版），2017（12）：39-43.