高中数学抽象知识形象化的处理

高飞

摘要：高度的抽象性是数学学科主要的特点。如何让学生在学习时深刻理解其中内涵，从而实现高效学习已成为教师研究的一个重要内容。形象教学与类比系统归纳同步，把抽象知识形象化处理可以收到较好的效果。

关键词：数学 抽象知识 形象化

背景一：数学是抽象的。它的形成已有几千年，当人们在一些零散的数学知识的应用中，逐渐加深了对自然规律的认识和把握时，有意识的抽象思维就随之形成了。数学抽象的特点在于：第一，数学的抽象体现于将客观对象的其它特征抛弃，只保留它的数量关系和空间形式进行研究;第二，数学的抽象是一级一级逐步提高的，下一次的抽象是以前一次的抽象材料为其具体背景，它们所达到的抽象程度大大超过了其它学科中的一般抽象;第三，高度的抽象必然有高度的概括，数学本身几乎完全周旋于抽象概念和它们的相互关系的圈子之中。如果自然科学家为了证明自己的论点常常求助于实验，那么数学家证明定理只需用推理和计算。这就是说，不仅数学的概念是抽象的，而且数学的方法也是抽象的，并且大量地使用了抽象的符号。因此高度的抽象性是数学学科特点之一。

背景二：当前数学教学中，为了应付高考，教师在教学过程中过分强调程式化和模式化;例题教学中给学生归纳了各种类型，并要求学生按部就班地解题，不许越雷池一步行;要求学生解答重复性练习题，减少学生自己思考和探索的机会，导致学生只会模仿，套用模式解题。重视逻辑思维训练而忽视形象思维训练的做法导致了学生分析问题、发现问题、解决问题的能力差。创造性思维水平低，学生不会自已去寻找真理和发现真理。因此，就当前数学教学实际而言，大力加强形象思维的训练有非常重要的现实意义。

形象化的知识总能给人带来吸引力，对于学生来说，他们需要这样的知识形态。钱学森认为，人类思维可以分为三种：抽象（逻辑）思维，形象（直感）维和灵感（顿悟）思维，并建议把形象思维作为思维科学研究的突破口。

背景三：新课程理论认为：每一位学生都是金子，他们的潜力是巨大的。可随着高中生源不断萎缩，学生的学习基础一年不如一年，而我校又是乡下的普通高中，学生是全县最差的普通高中学生，数学基础较差，接受能力弱，加上高中数学知识是高度抽象的。如果用常规方法去教学，学生上课必定是听不懂，长此下去学生必定会厌学，学习将会越来越差。这不可避免地给我校高中数学的教学带来一定的困难。教师必须面对这些现实状况，在实施数学教学中对学生进行全面的了解，并在施教过程中，不断因人而异地研究和分析这些学生在数学学习方面产生障碍的症结所在，在教学中要采取行之有效的策略。这就需要教师时时刻刻的站在学生的角度上去形象地去理解知识，要把抽象的知识形象化，只有这样才能激发起学生的学习数学的兴趣。这对于推进学校的素质教育，提高学科教育质量，具有十分重要的现实和历史意义，也是教学实践给教育理论提出的一个严峻课题。

据以上分析，对抽象知识进行形象化的处理可以从以下几个方面进行：

一.抽象知识生活化

數学是抽象的，但数学是源于生活的，生活中充满着数学。在数学教学中，我们应顺应学生的思维状态，紧密联系学生的生活实际，在现实世界中寻找数学题材，让教学贴近生活，让学生在生活中看到数学，摸到数学，体会数学，让数学脱离抽象的五彩光环还学生一个清晰画面。从而使学生不再觉得数学是高不可及、遥不可攀、虚无飘渺的，使学生伴随着丰富的生活情境走进数学世界，使学生养成在生活中应用数学的思维习惯，这将使他们终身受益。教材中，生活的事例随处可见。讲解概率时，可以有乘车、排队、抽签、扑克、彩票多种生活实例让学生参与其中;讲解二分法时，可以仿做“幸运52”中的猜手机、MP4、电脑等价格的游戏，让学生在玩中就领略了二分法的作用;讲解指数函数时，对一张纸要达到珠峰的高度只需折叠的次数一定会使学生大吃一惊的。诸如此类之例，只要细心寻找，就可以为教学带来意想不到的动态效果。可以说从具体实例出发，是学生思维特点的需要，也符合抽象性和具体性的基本关系，有利于学生对抽象结论的理解。

二.抽象知识具体化

遇到一个复杂问题时，如果从特殊情况入手，通过对通俗的、简单问题的解决，往往会出现“柳暗花明又一村”的境地，使复杂的问题得以解决。这就是特殊化处理一般性。如抽象函数的有关性质对学生来说可是一个难点（通过它的名字你就能感觉得到它的特点）。我们经常可以这样去解决：先找出一个符合函数方程的具体的代表函数，通过对代表函数性质的分析，加深对抽象函数的各种性质的理解。解决问题后，还要对此类问题的一般情况作一个思考归纳，加深对这类问题的认识。下面就以抽象函数定义域求法为例，希望能起到抛砖引玉的作用。抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数，其有关问题对同学们来说具有一定难度，特别是求其定义域时，许多同学解答起来总感棘手，下面结合实例具体介绍一下抽象函数定义域问题的几种题型及求法。

这样就把较为抽象的解题思路具体化，使全体学生对这种思路都能有更加形象、深刻的认识。学生对抽象知识的认识，不能只停留在直观的感性认识这个初级阶段，还应发挥表象作用，使具体的感性认识逐步过渡到抽象的理性认识。

三.抽象知识系统化

站在系统的高度，注意比较知识间的联系和区别，不但有利于抓住问题本质，而且可以找出规律即共性，简化记忆，便于掌握。因为联系、规律、和谐正是数学科学的本来面目。不同的问题可用同一个手段、方法、思路去解决;同一个问题也可用不同的手段、方法、思路去解决。缺乏整理的知识难于被学生所理解和掌握，而站在系统的高度，对知识八方联系的结果，则知识好像在手心里，了若指掌。例如笔者在处理2.2.1对数与对数运算第一课时教学时，为了使学生顺利理解对数的概念，先从加减、乘除互为逆运算出发，乘方的逆运算是开方（在一定范围内），例如在3中，求底数的运算就是开方运算，写成;求指数的运算就是对数的运算，写成，从中可以知道乘方、开方、对数三者互为逆运算。借助下列表格，可以进一步理解对数的本质的概念。

四.抽象知识变式化

五.抽象知识图形化

数形结合是高中四大数学思想之一。通过数形结合，可将抽象的数学语言与直观图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来;通过对图形的处理，发挥直观对抽象的作用，实现抽象概念和具体形象的联系，可以把数量关系转化为图形的性质问题来研究，或者把图形的性质问题转化为数量关系的问题来研究，使数学问题得到解决。数学家华罗庚先生曾对数形结合的思想和方法赋诗：“数与形本是相倚依，焉能分作两边飞;数无形时少直观，形少数时难入微;数形结合百般好，隔离分家万事休;切莫忘，几何代数统一体，永远联系莫分离。”教学中，可以用文氏图使得集合间的关系符号和集合运算符号具体化;可以用复平面內的点、向量让复数具体化;可以用函数图像让函数生动具体。重视数形结合的数学思想，善于用形的具体来化解数的抽象，是高中学生的必修功课。

六.抽象知识信息化

现代信息技术的广泛应用正在对数学课程内容、数学教学、数学学习等方面产生深刻的影响。《普通高中数学课程标准》中提到：“应重视信息技术与数学课程内容的有机整合，整合的原则是有利于对数学本质的认识。……在教学中，应重视利用信息技术来呈现以往课堂教学中难以呈现的课程内容。”而知识的抽象性正是课堂教学中难以呈现的内容之一。在函数的单调性、奇偶性概念的学习中，最让学生感到困惑的是：如何突破常量到变量的转化，从而达到由直观到抽象。几何画板的动态演示在解决此类问题中具有绝对的优势，它可以通过演示数量的变化特征，给学生以启发，从形的特征中找出它们在数值上的规律，形成函数奇偶性的定义。直观是学生领会抽象的数学知识的起点，是使学生由不知到已知的开端;教师在教学中应尽可能对有关课题作形象化的处理，例如，使用图片、幻灯、录像以及计算机软件，是数学教学中用作发展学生抽象思维的重要手段和原则。

总之，由于学生认识水平的限制，他们对于教材中较多地反映了数学的逻辑结构而掩盖了数学思维活动过程中的数学理论是难以独立地完成认识过程的。他们对于数学理论背后所蕴含的丰富的具体内容，或者头脑中比较缺乏，或者有一定的感性但不能很好地将之与所学的理论相联系，而对于被理论所掩盖的数学思维活动过程则更是难以把握。所以在教学中，教师应为学生提供适量的，具有典型意义的具体的形象的材料，让学生在数学理论知识的导引下，对这些材料进行充分的感知，并在此的基础上再进行抽象概括，使新知识与已有的数学知识经验建立起内在联系，成为一个有机的知识整体，达到对数学理论的理性认识。设计教学过程时，一定要让学生有机会经历各个抽象阶段：从现实的形象材料中抽象出数学的本质，通过从大量的或复杂的数学材料中抽取最重要的，本质的属性或特征，从表现形式不同的数学材料中分析它们共同点的思维活动;通过分析数学对象的特征及其之间的联系或关系，掌握数学的定义、定理、公式、法则等等。

参考文献：

[1]任樟辉著，马忠林主编.数学思维理论 .广西教育出版社，2000.

[2]章建跃、朱文芳著，林崇德主编.中学数学教学心理学.北京出版社，2001

[3]曹才翰、章建跃著，数学教育心理学. 北京师范大学出版社，1999.

[4]浙江省普通高中新课程实验.数学学科指导意见.浙江教育出版社.2009.10

浙江省绍兴市永和高级中学 浙江省绍兴市 312000