巧相似，活变形

裘依玲

摘要：最值问题是中考中一类常见题型，对学生数学综合能力要求较高，即现下我们所注重的学生的数学核心素养.本文以2019年台州市中考第16题为载体，用几何解法探究一类最值问题的多种解法，进而归纳中考复习中线段最值问题的研究思路与教学方法，思考复习教学中学生数学核心素养的培养方法.

关键字：几何解法，解析法，最值问题，核心素养

1 原题呈现

2 思路探析

此题是一道几何最值问题，在复习阶段我们会初步将最值问题的类型归纳为线段最值问题、将军饮马类最值问题、胡不归和阿氏圆问题，但是最值问题知识覆盖面较广，综合性较强，并不是简单的几类题型可以概括，不过在拿到题目之后，我们可以先思考本题是否属于这三种类型中的一种.在仔细阅读题目之后，可以发现题目中变量m、n之间的关系已经给出，可由，得，从而，即求的最大值可以转化为求n的最大值，那么这就是一个线段最值问题.除了题目给出的数据，我们应该关注数据之间的内在关联，结合图形特征分析解题思路，图形中没有固定的点与线，但条件∠ABC=90°和BD=4限制了m和n的大小，以及动点A，B，C的位置，如何将这两个条件运用起来是解题的一个突破口.

3 解法探析

解决一个几何最值问题，我们肯定会将注意力集中在图形上，展开联想，如何将条件给出的数据运用起来，构造出能够解题的图形，大部分同学都会先想到运用几何解法来解决该题，那么几何解法应该如何入手呢？下面我们一起来探究一下吧！

要用几何法解决该题，添辅助线是关键，那么如何添辅助线呢？结合图形特征，一个直角顶点在其中一条平行线上，首先浮现在我们脑海中的可能就是构造相似，那么这时如果我们将重点放在直角，就会过点B做三条平行线的垂线，构造出“K”字型相似，如图1.

由于△ABE∽△BCF，可得，再将题中的字母代入，便有，那么BD=4这个条件如何应用呢？这时候就需要再添加辅助线了，即过点A作交于点G，过点C作交于点G，如图2.此时可以发现图形中又出现了一个“X”字型的相似，即△ADG∽△CDH，那么如何将这么多线段表示出来呢？

我们可以设，此时利用BD=4就可以表示出线段，结合第一个“K”字型相似，可得，通过第二个相似，可得，即，所以化简可得，将其与共同代入中，便可化简出关于x的一个二次函数，即，当时，有最大值为25，由于n为正数，所以当n=5时，取得最大值为，即的最大值为.观察此法，是以几何为起点，代数为终点，在图形构造上更贴近学生的思维方式，但是构造出“K”字型相似之后学生也会可能就会因为没有思路就戛然而止，找不到进一步解法的情况，而该法涉及的字母较多，许多学生未必能完整的完成整个解题过程.

如果我们将重点放在三条平行线上会不会有其他不一样的收获呢？回到图形分析，三条平行线的组合在哪个知识点中出现较多？是在学习相似三角形的平行截割定理中.如果我们将平行线截割定理中归纳出的基本图形“A”字型如图3，放在本题的图旁，就容易联想到可以通过延长线段AB构造“A”字型相似，如图4，延长AB交于点M，由于，可得△ADB∽△ACM，利用高之比等于相似比，可得，由于，所以.CM的长求得对于解题有何帮助呢？当然还要结合∠ABC=90°的条件，推出，那么已知条件就转化成了一个斜边长为10的直角三角形什么时候高线最长呢？要解决这个问题，我们这里探讨两种方法，方法一：B点为动点且是直角顶点，当斜边长固定时，B点就是在以CM为直径的圆上运动，n为圆上的点到直径CM的距离，这个距离什么时候最大呢？结合图形很容易分析出半径时候最大，所以n的最大值为5，从而的最大值为;方法二：取CM的中点N，连结BN，过点B作交于点P，线段BP的长即为n值.这时斜边上的中线，由于点B是动点，

所以当B点刚好在CM的中垂线，即为等腰直角三角形时，高线BP与中线BN重合，长度相等等于5.我们也可以根据该图形中的“斜大于直”推得，从而得到n的最大值为5，的最大值为.基于这种方法，我们还可以延长BC构造出不同的“A”字型相似图形，同样也可以求出的最大值.既然“A”字型相似可以求出最大值，那么直接去构造“X”字型是否也可以呢？答案是肯定的，过点B作交于点H，利用△ACD∽△BHD，求得DH=6，在中可求得中线，所以n的最大值为5，的最大值为. 对于两种不同的几何法，我们可以发现，第二种通过“A”字型和“X”字型構造相似的解法更加优美简洁，但是学生不容易在知识点中产生关联，构造图形，而第一种几何法的辅助线构造对于学生来说更易产生联想，但是后面利用二次函数求最大值的过程比较复杂，涉及字母较多，对于学生综合能力的要求较高，学生解答也存在一定困难.

4 反思归纳

本文主要从几何角度探究了一个中考出现的线段最值问题，通过对题目的一题多解探究，我们可以初步归纳一般步骤.

用几何法解决此种类型问题时，一般将已知条件结合图象特征分析，通过添加辅助线将已知条件进行转化，找到动点位置规律，或者利用相似等知识点构造未知量之间的关系，进而求解.运用几何法解决最值问题的核心是转化，通过变化过程中不变特征的分析，利用几何变化，图形性质等手段把所求量进行转化，构造出符合几何最值问题理论依据的几何结构，进而解决问题，求得最大值.

参考文献：

[1].罗琳.基于核心素养的“几何直观”的数学教学——一道线段最值问题的教学启示.中数学教学研究.2017.8.

[2].陈志远.从核心素养看一类几何最值问题的解法.高中数学教与学.2018.6.

[3].徐胜.例谈用基本不等式求解最值问题的常见策略.2015.4.

[4].沈岳夫.例谈最值问题的基本解题策略.2010.10.

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