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巧相似,活变形

2020-09-10裘依玲

数理报(学习实践) 2020年31期
关键词:字型辅助线平行线

裘依玲

摘要:最值问题是中考中一类常见题型,对学生数学综合能力要求较高,即现下我们所注重的学生的数学核心素养.本文以2019年台州市中考第16题为载体,用几何解法探究一类最值问题的多种解法,进而归纳中考复习中线段最值问题的研究思路与教学方法,思考复习教学中学生数学核心素养的培养方法.

关键字:几何解法,解析法,最值问题,核心素养

1 原题呈现

2 思路探析

此题是一道几何最值问题,在复习阶段我们会初步将最值问题的类型归纳为线段最值问题、将军饮马类最值问题、胡不归和阿氏圆问题,但是最值问题知识覆盖面较广,综合性较强,并不是简单的几类题型可以概括,不过在拿到题目之后,我们可以先思考本题是否属于这三种类型中的一种.在仔细阅读题目之后,可以发现题目中变量m、n之间的关系已经给出,可由,得,从而,即求的最大值可以转化为求n的最大值,那么这就是一个线段最值问题.除了题目给出的数据,我们应该关注数据之间的内在关联,结合图形特征分析解题思路,图形中没有固定的点与线,但条件∠ABC=90°和BD=4限制了m和n的大小,以及动点A,B,C的位置,如何将这两个条件运用起来是解题的一个突破口.

3 解法探析

解决一个几何最值问题,我们肯定会将注意力集中在图形上,展开联想,如何将条件给出的数据运用起来,构造出能够解题的图形,大部分同学都会先想到运用几何解法来解决该题,那么几何解法应该如何入手呢?下面我们一起来探究一下吧!

要用几何法解决该题,添辅助线是关键,那么如何添辅助线呢?结合图形特征,一个直角顶点在其中一条平行线上,首先浮现在我们脑海中的可能就是构造相似,那么这时如果我们将重点放在直角,就会过点B做三条平行线的垂线,构造出“K”字型相似,如图1.

由于△ABE∽△BCF,可得,再将题中的字母代入,便有,那么BD=4这个条件如何应用呢?这时候就需要再添加辅助线了,即过点A作交于点G,过点C作交于点G,如图2.此时可以发现图形中又出现了一个“X”字型的相似,即△ADG∽△CDH,那么如何将这么多线段表示出来呢?

我们可以设,此时利用BD=4就可以表示出线段,结合第一个“K”字型相似,可得,通过第二个相似,可得,即,所以化简可得,将其与共同代入中,便可化简出关于x的一个二次函数,即,当时,有最大值为25,由于n为正数,所以当n=5时,取得最大值为,即的最大值为.观察此法,是以几何为起点,代数为终点,在图形构造上更贴近学生的思维方式,但是构造出“K”字型相似之后学生也会可能就会因为没有思路就戛然而止,找不到进一步解法的情况,而该法涉及的字母较多,许多学生未必能完整的完成整个解题过程.

如果我们将重点放在三条平行线上会不会有其他不一样的收获呢?回到图形分析,三条平行线的组合在哪个知识点中出现较多?是在学习相似三角形的平行截割定理中.如果我们将平行线截割定理中归纳出的基本图形“A”字型如图3,放在本题的图旁,就容易联想到可以通过延长线段AB构造“A”字型相似,如图4,延长AB交于点M,由于,可得△ADB∽△ACM,利用高之比等于相似比,可得,由于,所以.CM的长求得对于解题有何帮助呢?当然还要结合∠ABC=90°的条件,推出,那么已知条件就转化成了一个斜边长为10的直角三角形什么时候高线最长呢?要解决这个问题,我们这里探讨两种方法,方法一:B点为动点且是直角顶点,当斜边长固定时,B点就是在以CM为直径的圆上运动,n为圆上的点到直径CM的距离,这个距离什么时候最大呢?结合图形很容易分析出半径时候最大,所以n的最大值为5,从而的最大值为;方法二:取CM的中点N,连结BN,过点B作交于点P,线段BP的长即为n值.这时斜边上的中线,由于点B是动点,

所以当B点刚好在CM的中垂线,即为等腰直角三角形时,高线BP与中线BN重合,长度相等等于5.我们也可以根据该图形中的“斜大于直”推得,从而得到n的最大值为5,的最大值为.基于这种方法,我们还可以延长BC构造出不同的“A”字型相似图形,同样也可以求出的最大值.既然“A”字型相似可以求出最大值,那么直接去构造“X”字型是否也可以呢?答案是肯定的,过点B作交于点H,利用△ACD∽△BHD,求得DH=6,在中可求得中线,所以n的最大值为5,的最大值为. 对于两种不同的几何法,我们可以发现,第二种通过“A”字型和“X”字型構造相似的解法更加优美简洁,但是学生不容易在知识点中产生关联,构造图形,而第一种几何法的辅助线构造对于学生来说更易产生联想,但是后面利用二次函数求最大值的过程比较复杂,涉及字母较多,对于学生综合能力的要求较高,学生解答也存在一定困难.

4 反思归纳

本文主要从几何角度探究了一个中考出现的线段最值问题,通过对题目的一题多解探究,我们可以初步归纳一般步骤.

用几何法解决此种类型问题时,一般将已知条件结合图象特征分析,通过添加辅助线将已知条件进行转化,找到动点位置规律,或者利用相似等知识点构造未知量之间的关系,进而求解.运用几何法解决最值问题的核心是转化,通过变化过程中不变特征的分析,利用几何变化,图形性质等手段把所求量进行转化,构造出符合几何最值问题理论依据的几何结构,进而解决问题,求得最大值.

参考文献:

[1].罗琳.基于核心素养的“几何直观”的数学教学——一道线段最值问题的教学启示.中数学教学研究.2017.8.

[2].陈志远.从核心素养看一类几何最值问题的解法.高中数学教与学.2018.6.

[3].徐胜.例谈用基本不等式求解最值问题的常见策略.2015.4.

[4].沈岳夫.例谈最值问题的基本解题策略.2010.10.

浙江省永康市永康中学 浙江省永康市 321300

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