浅析数形结合思想在解二次函数有关题型时的有效策略

汪波

数学是研究现实生活中数量关系和空间几何的一门学科，能更好地帮助人类解决生活问题，提升学生逻辑思维能力，训练学生分析问题和解决问题的有效策略 ，增强学生认识世界和了解世界奥秘的信心，从而树立学好文化科学知识的自信。故此，数学作用毋庸置疑，其效果是巨大的，当下的数学课堂是传承文化、贯彻教育理念的重要场所，提升课堂效率，让师者教出智慧、生者学出乐趣来，便成了课堂高效的重要目标。笔者认为：转化二次函数的解题难度，让抽象的数学更具体形象、更直观，数形结合思想便是学生正确理解二次函数相关问题的有效途径，能更有效地化解课堂思维的瓶颈，让课堂的有效性及高效性得以体现，让数学课更有趣味性、更有数学味。

我国著名的数学家华罗庚说过：“数缺形，少直观;形缺数，难入微。数形结合百般好，隔裂分家万事非。”不难看出数形结合思维方式是数学学习的重要手段，更是数学学科本身所俱有的特征，当然更是化解数学难度的重要途径。九年级学生对二次函数的求解大多存在求解的困惑，特别是代数综合题及几何综合题 。针对学生求解的困惑点，教师的引领智慧可从数形结合思想入手，讓二次函数的综合题 的求解能从直观的形中找到求解方案，使数学教学能俱有数学本身学科的智慧来。

本人通过课堂的反馈发现，学生在学习二次函数类型的知识时，主要有如下认识瓶颈：

1、形数转化桥梁无法构建，从而使知识间的联系无法形成，函数知识呈碎片化，各种性质的割裂让解决方案无法形成。

2、二次函数的性质理解不够透彻，相关特征没有形成形数结合的认知体系，从而使极值求解知数忘形，让极值的求解方案过于片面或无法找到正确的方向。

3、存在性的模型中的“形”能力欠缺，要么只有形而无数，要么只有数而无形，特别在方程思想形成中缺乏建模意识，导制求解结果不全或根本无法求解。

4、与面积有关的代数综合题及几何综合题的求解过程中，学生的思维呈割裂状，只现形没有数的意识，知识只是断崖式呈现，从而数学问题无法形成解决方案。

5、知函数图象，需求二次不等式组的解集的取值问题的求解中，分段意识不强，学生大都缺乏整体思考的意识，只见高山不见平湖，求解范围不全的情况较多。

6、特殊的二次函数的极值求解中，学生的思维混乱，缺少整合形数的通道，只会思考形而缺方程思想的意识，导制在解决问题时陷入困惑。

总之，二次函数的相关问题的求解，综合类题的难度大的根本原因便在于学生在整合数形时缺乏应有的建构理念，导制方程思想的建模能力与几何图形的性质的认识是割裂式的、碎片化的，因而无法解决问题。而要解决二次函数的综合类题，本人认为可从如下几个方面进行化解：

一、由数入形，从平面直角坐标系入手建模，点亮学生求知的眼睛。

本人在二次函数的习题讲解中便大胆整合教材，让代数的抽象与几何直观能更好地整合，充分激发学生的求知欲，让更多的学生主动去参与学习，利用好图形，使学生在形数转化中有自已的独特见解。

如、二次函数y=|a∣x2+bx+c的图象经过A（m，n）、B（0，y1 ）、C（3-m，n）、D（2，，y2 ），E（2，y3），则y1 ，y2 ， y3的 大小关系是（ ）。

A、y1

本例在选用中，主要是考查学生对二次函数的画图方法的认识水平，关键点在于学生对|a∣的理解程度，只有理解了|a∣的代数意义，才可将数学图形找出来。而要解决此类问题时，本人采用了以平面直角坐标系为思考的起点，通过学生在此图形中合理将五点有序数对转化为平面直角坐标系内的点，从而通过数入形的通道，找准该抛物线的对称轴存在的原因和其对应的方程为：x=32的事实，从而巧用其对称性，找出各点存在性的大小，再通过函数图象的增减性及到对称轴的距离的远近确定其大小。在具体求解中教师主要强调学生画图能力 ，并及时利用好计算距离的远近的方法找出问题求解方案。

不难看出，本例中平面直角坐标系构建成为解决问题的最主要的工具，只有学生通过分析发现图形存在性，方可让函数取值的大小变得更简单、更直观、更容易。

又如：已知抛物线y=-x2+mx+2-m，在自变量x的值满足是-1≤x≤2时，若对应的函数值y的最大值为6，则m的值是多少？

通常在解决函数值的极值问题中，常规办法是：

首先找出自变量的取值范围，然后由自变量及函数图象的增减性入手去分析，具体分为如下三种情况：

1、当抛物线对称轴在自变量范围范围内，则抛物线的顶点坐标的纵坐标便是其极值。

2、当抛物线的对称轴在自变量范围外时，若在递增的图象范围内时，则由其增减性来定。

3、当抛物线的对称轴在自变量范围外时，若在递减的图象范围内时，其增减性可从图象中分析得出。

而本例需教师引领学生通过分析三种可能性，在形成具体的求解结果中逐步发现形与数相结合的分析更科学、更合理。特别是学生在参与构图过程中热情能更好地提升了对学好二次函数的信心。本人在课堂中采用了分段、分部分讨论，形成抛物线的顶点式，由其顶点式入手，找到对称轴方程，巧妙构建成方程，通过求解方程及相关的计算得到本例的求解结果。

故此，当函数的区域求值时，应给定较清晰的定义域，然后通过平面直角坐标系形成对应的图象，建立合理的数学模型，找到其各自的图形特征，由图形的本身所俱有的性质形成求解方案。正所谓：形由数来验证，数由形来定方向。

例①问的求解只需由形入数，找出点坐标，通过三点求解法定出函数的解析式，这是函数的基础题。但②问的面积极值求法，实际上可由其自变量取值范围及二次函数的极值求法定出。在此类例题中，学生大多数仍停在面积求解中，缺乏对自变量取值认定，从而使求解失误。③问中旋转意识，则需教师引领学生去巧妙构形，以形析数，形成科学合理的认知模式。线段PA的存在方式的不同性，可由其先构

形建模中找到，然后以数化形，让P点的两种存在及其坐标的合理构建，然后形成方程求解出的答案。

总之，形数的转化的合理性，会使复杂问题简单化。也更能体现数学学科本身的智慧，而数形结合思想中最核心的便是：以形建模定

直观、数式方程巧计算，这样才能让二次函数的求解更顺畅、更科学、更易得分。或许二次函数的形数结合的思考方式仅是求解方法中一种特例，可这种结合的完美程度，会让枯燥的数学课堂在教师的精妙的预设中生成科学的智慧来，也定能让当下的数学课堂生出师生共成长的乐趣来。

故此本人希望数学教师能更幸福地从教，能从高效课堂中点燃学生学习数学的热情，还原数学本来的美好。真诚期待数学课堂中的公平与和谐，师生互动的愉悦点亮学生求知的双眼。那就让数形结合思想在课堂中无缝对接找到求解二次函数有关题型的金钥匙，期盼一线数学教师真正成为学生一生中的贵人。