一个被猜成无理数的有理数

蒋迅

历史上曾有许多特殊的数字，之前被人们认定是有理数，但最后被发现是无理数.但似乎还没有哪个特殊的数字之前被认定是无理数，后来却被人们证明是有理数的.今天我们就来讨论这样一个常数，它曾经被猜测是无理数，最后人们发现它其实是有理数.这个数就是勒让德常数（Legendre′s constant）.

1808 年，勒让德在研究素数的分布情况时，发现 [π（x）]满足以下等式：[limn→∞ln（n）-nπ（n）=B].在这个等式里，[π（x）] 是素数计数函数， B是一个常数，被称为勒让德常数.勒让德估计B大约为1.08366，虽然没有找到能说明B是无理数的证据，但是他觉得B就是一个无理数.其实，这样的猜测在当时是很合理的.

从上面的图片中我们可以看到，当n从 1 增加到10万时，极限值确实是非常接近于 1.08366的.因此，当时的数学家们普遍认为π（x）符合某种规律.勒让德也参加了有关π（x）的研究.由于大家的研究都集中在π （x）上，所以B具体是多少就显得没有那么重要了.重要的是这个常数的存在性，因为它说明了这个素数定理是正确的.勒让德的研究让大家看到了希望，但他本人沒能等到研究的结果. 1833年，勒让德因病去世.

到了1849 年，有关勒让德发现的这个极限等式的研究有了新的进展.俄国大数学家切比雪夫证明，如果这个极限存在的话，那么这个极限B=1 .切比雪夫的证明给数学界罩上了一层乌云.大家猜测：这个极限大概不存在吧，因为1是如此的普通，它怎么可能是B呢？可惜切比雪夫也没能等到最后的结果，于1894年去世.

1899年，比利时数学家查理斯·拉瓦莱·普桑（Charles Jean de la Vallee Poussin）终于解决了这个问题.他证明了极限存在并且等于1 .这是他在数学领域里作出的主要贡献，并因此获得了比利时国王授予的男爵称号.

现在我们知道了B是一个有理数，它的值是1 .它虽不像 π、e和φ那样与众不同，但人们更愿意把勒让德原来给出的1.08366称为勒让德常数，尽管它已经失去了原来的意义.