证明线线平行的三种常见方法

郭海

线线平行是立体几何中点、线、面的位置关系之一，证明线线平行是高考中的常见问题.该类型问题的求证思路灵活，方法多样.本文中，笔者归纳了证明线线平行的几种常见方法，以供参考.

一、利用向量法证明线线平行

向量具有数与形的双重身份，是沟通代数与几何的重要桥梁.利用向量法证明立体几何中的线线平行，可以融“数”“形”为一体，巧妙地将空间位置关系转化为数量关系，从而降低求证问题的难度.

例1.如图1所示，已知ABCDEFC为多面体，平面ABED与平面ACFD垂直，点O在线段AD上，OA=1，OD=2，△OAB、△OAC、△ODF都是正三角形.求证： BC∥EF.

分析：已知两平面垂直，且△OAB、△OAC、△ODF都是正三角形，我们不妨联系空间向量，建立空间直角坐标系，利用向量基本定理来求解，则可以使问题迎刃而解.

证明：過点F作FH⊥AD，交AD于点H，连接HE，

由平面ABCD ⊥平面ADFC，可知FH⊥平面ABCD，

点H为坐标原点，以HE所在直线为x轴，HF所在直线为y轴，HD所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，由图1不难得出E（[3]，0，0） ，F（0，0，[3]），           B（[32]，-[32]，0），C（0，-[32]，[32]），则[BC]=（-[32]，0，[32]），[EF]=（-[3]，0，[3]），所以2[BC]=[EF]，所以BC∥EF.

向量法是证明线线平行的重要利器.解答本题的突破口在于充分利用已知条件，探求出不重合的两条直线a，b的方向向量使得[a]=[λ][b]（[λ]为唯一实数）.

二、借助平行公理证明线线平行

平行公理是指在同一平面内，如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行，即a∥c，b∥c，则a∥b，或a∥b，b∥c，则a∥c.平行公理是证明两条直线平行的基本公理.在证明线线平行问题时，求证的切入点是结合题意，巧作辅助线，善用题设已知条件，证明两条直线平行于同一条直线.

仍以例1为例，如图2所示，延长线段AC、DF交于点K，延长AB、DE交于点G，连结KG.因为△OAC、△ODF、△ODE都是正三角形，所以△ADK和△ADG均是正三角形，

又因为OA=1，OD=2，所以AD=3，故FK=EG=1，CK=BG=2，

所以[ABBG]=[ACCK]=[12]，[DFFK]=[DEEG]= [21]，从而得到BC∥KG，EF∥KG，最后利用平行公理中“平行于同一条直线的两条直线平行”这一公理，即可使问题得证.

平行公理是证明线线平行的有效方法之一.同学们要注意灵活迁移和运用立体几何中的基本公理.

三、利用线面垂直性质定理证明线线平行

垂直于同一平面的两条直线互相平行.这是直线与平面垂直的性质定理.它揭示直线“垂直”“平行”的内在联系.利用线面垂直性质定理求证线线平行，关键在于构建同一平面，将直线与平面垂直巧妙地转化为线线平行，从而使问题得以顺利获解.

例2.如图3所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E、F分别在A1D，AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC，求证：EF∥BD1..

分析：要证明两条直线平行，就需要从题设给出的垂直关系中挖掘出直线平行关系.我们可以联想直线与平面垂直的性质定理，由直线与平面垂直推导出直线与直线平行，即可使问题得证.

证明：如图3所示，连接AB1，B1C，BD，因为DD1⊥平面ABCD，AC[⊂]平面ABCD，所以DD1⊥AC ，又因为AC⊥BD，BD ∩DD1=D，所以AC⊥平面BDD1B1.又因为BD1[⊂]平面BDD1B，所以BD1⊥AC，同理可证BD1⊥B1C，所以BD1⊥平面AB1C，因为EF⊥A1D，A1D∥B1C，所以EF⊥B1C，又因为EF⊥AC，B1C∩AC=C，所以EF⊥平面AB1C，所以EF∥BD1.

利用线面垂直性质定理求证两条直线平行，实际上是两次证明直线与平面垂直.求解上述问题的关键在于由题设已知条件推导出BD1⊥平面AB1C，EF⊥平面AB1C，再结合线面垂直定理，得出EF∥BD1.

总之，向量法、平行公理法、线面垂直法都是证明线线平行的有效方法.在平时高中数学学习和解题训练中，同学们要注意随机应变，做到具体问题具体分析，灵活运用所学知识和方法，准确地破解问题.

（作者单位：江苏省盐城市第一中学）