浅谈高中数学应用问题的基本解法

崔娟

摘 要：随着教育的不断改革，高中数学应用问题越来越重要，已成为教学的重要内容之一。教师要充分认识数学应用问题的重要性，增加学生的应用意识，帮助学生提高解题应用能力，让学生在应用问题中得到提升和发展。

关键词：高中数学;应用问题;解法

数学和现实生活深度联系，这就要求学生在应用数学知识、数学技能、思想方法等过程中解决数学应用问题。教师要在把握高中数学应用问题基础上明确基本解法，指引各层次学生科学把握、解决高中数学应用问题，强化数学应用意识的同时锻炼解决数学实际问题的能力。

一、三角函数应用问题

三角函数是新课标下高中数学学习中学生必须掌握的知识点，也是难点所在。同时三角函数最值问题是高考的一大热点，会和不等式、解析几何、数列、平面向量等知识有机结合，着重考查学生对知识的综合应用，包括数形结合、化归、转化、分类讨论等思想应用情况，求解、实际问题解决等能力。比如，某一居民区有一块矩形的草坪ABCD，其中AB为50米，BC为25√3米，现要在这块矩形的草坪内铺设3条小路，即OE、EF、OF，供小区居民日常休闲散步，但在考虑小区整体规划的基础上将O作为AB的中点，E点位于BC边，角EOF刚好为90度。假设角BOE为a，用a的函数关系式表示三角形OEF的周长，求出该函数的定义域;假设矩形草坪中3条小路每米的铺设成本都是400元，请问如何设计3条小路才能让铺设的总成本最低且最小成本为多少元？下面是该试题与之对应的图形。

提出该三角函数应用问题之后，教师可以引领、指导班级各小组学生在理解题意的基础上进行有效思考，探讨该试题解答的基本方法，在归纳、总结的过程中指引其深层次思考，在读题、审题的基础上准确梳理该试题中的关系，将这一实际应用问题转换为对应的数学问题，构建三角函数模型的同时应用三角函数知识以及多种思想方法、三角函数解题技巧，以该居民区草坪小路设计实际情况为基础，准确列出三角函数式子的同时进行解答。在此过程中，教师要巧用错题资源，多层次引领班级学生思考、探究试题解答错误的原因，纠错的同时明确易错点、解题突破口等，科学归纳、总结关于三角函数应用问题的基本解法，在强化训练过程中达到举一反三的目的。

二、关于数列应用问题

数列是高中数学的重点以及难点所在，体现在等差数列、等比数列两大层面。教师要深化剖析数列章节学习中各层次学生存在的问题，联系日常生活实际的同时高效讲解数列应用问题的基本解法，让各层次学生在掌握、内化等差以及等比数列知识过程中更好地将其应用到实践中，锻炼数学思维、解题能力的同时达到学以致用的目的。比如，某工厂去年产值为a，计划今后六年内每年产值都要比上一年增加15%，请问从今年起到第六年，该工厂总产值是多少？

提出这一数列应用问题之后，教师可以让学生在阅读、审题的基础上围绕已知条件、未知条件，利用数列知识、常规解题方法进行解答，根据其解答情况，针对性补充、讲解的同时进行变式训练，将等差数列、等比数列知识有机结合，改变或者增加该数列中的已知条件、未知条件，指引学生在思考、探究中活用掌握的数列知识、解题技巧、思想方法，正确解答试题的同时探索不同的解题方法，在一题多解过程中比较、分析、总结数列应用问题的基本解法，提高数列学习效率。

三、线性规划应用问题

线性规划应用问题是高中数学教材“不等式”章节下的关键点，主要体现在二元一次不等式（组）方面。教师要细化把握一元二次不等式、二元一次不等式（组）等知识点，联系日常生活实际的同时科学设置关于不等式的线性规划应用问题，在应用基本解法过程中准确解决关于不等式线性规划的应用问题。比如，已知某企业生产甲乙两种产品，生产每吨甲产品需要用A原料、B原料分别为3吨、2吨，生产每吨乙产品需要用A原料、B原料分别为1吨、3吨。销售每吨甲产品、每吨乙产品获取的利润分别为5万元、3万元，如果在一个生产周期内该企业生产甲乙两种产品中消耗的A、B两种原料分别不超过13吨、18吨，请问在生产甲乙两种产品过程中该企业获取的最大利润是多少？

提出线性规划应用问题之后，教师要强调学生主体地位呈现，让学生立足这一基于二元一次不等式的线性规划应用问题，认真解读试题、明确题意的同时准确把握试题中的已知条件、未知条件，包括涉及到的不等式、线性规划等知识。随后，学生要在试题剖析、联想的基础上借助数形结合、建模等思想方法，准确绘制试题图形，构建数学模型的同时在数形结合下探究试题解答思路，灵活应用不等式以及线性规划知识，合理假设未知数的同时列出约束条件以及目标函数，再进行求解。具体来说，假设甲乙两种产品各自需要生产X吨、Y吨，才能让获取的利润（Z）最大化，得出对应的约束条件，3x+y≤13，2x+3y≤18且x≥0、y≥0，構建二元一次不等式组，求目标函数Z=5x+3y的最大值，可以求出X、y分别为3、4，则目标函数Z为27，也就是说，该企业获取的最大利润为27万元。

四、结语

总而言之，数学应用性问题是对数学学科和现实生活、科技、生产等之间关系的客观折射。教师要深层次剖析高中数学中三角函数、解析几何、概率统计等知识，优化数学应用问题的基本解法，在教与学衔接中指引学生掌握基本解法、数学技能的同时提高解题速度、准确率与能力，在实际问题解决中发展实用能力。

参考文献

[1]陈万斌.强化应用题教学，提高学生建模等数学素养——浅议高中数学应用题的教学现状与对策[J].中学数学，2019（17）.

[2]杨锦.高中数学“问题解决”课堂教学策略设计[J].数学大世界（上旬），2019（01）.

本文系淄博市教育科学“十三五”规划一般课题“问题探究式教学与数学应用能力培养策略研究”的研究成果（课题编号：2019ZJY027）