应用勾股定理解题时常见错误剖析

田常青

勾股定理是连结代数与几何的桥梁，是研究几何图形问题的重要工具，但是很多学生在运用勾股定理解题时常常发生这样那样的错误，分析其原因主要是因为学生在学习勾股定理时没有准确的理解勾股定理的定义以及运用定理的内容，为了能够帮助学生避免在应用勾股定理是发生错误，本文对学生在运用勾股定理解题时常出现的错误进行剖析。

一、不能正确的分辨直角三角形的直角边与斜边

针对直角边与斜边的错误，以两道题为例，为学生剖析在这个问题上学生经常发生的错误。

例1：在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=3，那么AC的长为多少？

很多学生受到勾股定理“勾三股四弦五”的影响，看到题目第一反应就是AC一定是斜边，想当然的认为BC=3，AB=4，那么AC一定等于5。而正确的解答过程应该如下：首先审好题，题中说到∠C=90°，那么最长的斜边应该是AB，当学生辨别好直角边与斜边后在运用勾股定理解题，可得出AC=。

例2：在直角三角形ABC中，∠B=90°，a=6，B=8，求c边长。

很多学生对勾股定理没有掌握好，只知道a2+b2=c2，看到题目后，直接套入公式，得出c==10。这是错误的解法。题目中已知∠B=90°，所以b为斜边，直角边是a、c，弄清直角边与斜边后在运用a2+b2=c2来解题。正确解法为：由∠B=90°可知b为斜边，由a2+c2=b2来计算，c2=b2-a2=28，所以c=2。

二、忽略勾股定理的应用条件

勾股定理仅限于在直角三角形中使用，有些学生对该定理的应用有所混淆，认为勾股定理在任何三角形中都适用，这样就使得学生在解题中发生了错误。

例3：已知三角形ABC，a、b、c为该三角形的三边长，且长度为整数，a=3，b=4，那么c长为多少？

学生看到题目中出现了3、4，想当然认为c=5。勾股定理只能在直角三角形中使用，学生看到3和4，受到勾股定理“勾三股四弦五”的影响，就把该三角形认为是直角三角形，得出了第三边长为5。而正切的解法如下：由三角形三边关系“两边之和大于第三边”得出c的长度为1

例4：在三角形ABC中，已知AB>AC，AC=8，BC=3，三边长均为整数，求AB的长度。

学生在解答这题时，错误的认为因为AB>AC，AC=8，BC=3，所以AB>AC>BC，根据勾股定理得出AC2+BC2=AB2=73，得出AB=。

题目中并没有明确的说明该三角形是否为直角三角形，而是一般三角形，勾股定理只在直角三角形中才成立，所以这道题不能用勾股定理来解答，需要用一般三角形三边关系定理来解题。该题的正确解答如下：由三角形三边关系得出AC

三、未分清勾股定理及其逆定理

勾股定理是指“直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方”。而勾股定理的逆定理是指“如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形”。勾股定理的逆定理是判断三角形是否是直角三角形、锐角三角形以及钝角三角形最简单的方法。但是，很多学生经常会将勾股定理与勾股定理逆定理相混淆，未注意二者的区别，导致在解题的过程中出现错误。

例5：已知三角形ABC的三边a=5、b=12、c=13，试问三角形ABC是什么三角形？

此题乍一看a、b、c的长分别为5、12、13，刚好符合52+122=132，即a2+b2=c2，由勾股定理可判断，三角形ABC为直角三角形。

这是错误的理解。勾股定理是已知三角形为直角三角形，从而能够推导直角三角形三边关系为a2+b2=c2，这是直角三角形的性质定理。而三角形的逆定理是由三角形三边之间的数量关系推算出该三角形是直角三角形，這是直角三角形的判定定理。所以这道题的推导过程应该是这样的：因为52+122=132，即a2+b2=c2，所以由勾股定理的逆定理可知，该三角形为直角三角形。三角形的定理与逆定理千万不可混淆。简单的说勾股定理是由“形”推导得出“数”，逆定理是由“数”推算得出“形”。

四、分类讨论问题

有一些题目需要分情况讨论，而学生在解题时只考虑到一种情况，因而导致解题不全面。

例6：在直角三角形ABC中，∠A=90°，两条直角边分别为20与15，AD⊥BC，求BD的长。

大多学生只考虑到图1这种情况，由勾股定理得BC=25，根据等面积法可得AD=12，再由勾股定理得出BD=16。

此题有两种情况，只想到AB=20而忽略了还有一种情况是AC=20，所以此题还有一种结果，即为：当AC=20时，如图2，BC=25，等面积法得AD=12，根据右股定理得BD=9。

结束语：综上所述，学生在使用勾股定理解题时会出现各种错误，这些错误多是由于学生在学习时没有很好的掌握勾股定理的前提条件，未留心只有在三角形为直角三角形时才可使用该定理，对斜边、直角边所有的多种分类理解不透彻，没有更好的理解勾股定理与逆定理的联系与区别等。因此，在日常学习中，教师一定要对勾股定理的基础知识加以强化，针对学生经常发生错误的知识点加强练习才能有效的避免发生错误。

参考文献

[1]廖铭.初中数学勾股定理的解题研究[J].数学学习与研究，2017（16）：133.