直觉思维引路，发散思维开疆拓土

张鑫

摘 要：数学是建立在严密的逻辑思维基础上的思想大厦，然而，非逻辑思维也常常在思维引路或者拓广方面具有其独特的优势。结合一道分式方程的直觉解法，通过发散思维拓广其变式应用，有助于学生开拓思维，举一反三地培养自己的数学思维模式。同时，非逻辑思维的引入，也让学生看到解决问题的方法并非只有一种，从而养成多角度思考的好习惯。

关键词：分式方程;直觉思维;发散思维

数学的严密性和逻辑性是众所周知的，但数学也有其非逻辑的思考起点，如直觉、猜想、思维模拟实验等都是建立在非逻辑的灵感思维基础上。结合分式方程的复习，引发对直觉思维、发散思维、构造思维、整体思维等非逻辑思维的思考，感悟非逻辑思维的价值。进而通过逻辑思维与非逻辑思维相结合，让思维在发散中产生更多的灵感与思路。

一、缘起于一道分式方程的多种解法

在九年级的复习课上，复习分式方程的解法并让同学们做题：

解方程

下面是四位同学的四种不同的解法：

甲：“我用去分母的方法。用分式的最简公分母2x（x-1）去乘以方程的两边，约去分母，化为整式方程求解。”

乙：“我用的是通分法。由于这道题左边有分式，右边没有出现分式，所以我就考虑先左边进行通分运算，再由比例的基本性质得出结果。”

丙：“我注意到方程中与为倒数关系，所以想到换元法。可设其中一个为，原方程即可转化为一元二次方程，然后再进一步求解。”

丁：“我是用根与系数的关系解的。方程中与为例数关系，所以这两个分式的积为常数1，而方程本身告诉我们和为常数，故可用根与系数关系求解。”

笔者肯定了四位同学的解法，并表扬了第四种解法更具有特色，体现了灵活运用知识间联系解题的精神。

这时，一直沉默不语的数学科代表余菲要求发言了。

他说：“张老师，我发现，我用猜测的方法也一样可以得出方程的两个解为x1=2，x2=-1。”

笔者和同学们都惊讶的看着他。

她说，从丙的解法得到启发，由原方程可得。从而或。所以我把x=2代入，发现，因此x=2是原方程的解。再一想，另一解应从来看，我又把x=-1代入，发现恰好满足。所以x=-1也是原方程的解。

我和其他同学都被余菲同学的直觉思维所折服。同时，也深深的为同学们多姿多彩的个性化思考所折服。特别是通过这节课，我们可以感受到学生的心智能力是有差异的。虽然每位同学都得出了相同的答案，但我们数学决不仅仅是为了求得一个答案。余菲同学用直觉的方式得出解答的过程让我感到有必要对这道题进行原型追踪并进行推广，从而可以实现“直觉思维引路，发散思维开疆拓土”的目的。

二、原型追踪——直觉思维引路

在一些数学竞赛中，经常有这样的填空题：

已知，则x=

思维灵活的学生并不去解这个分式方程，而是把原方程改写成

或。从而，迅速地写出答案8或。

类似地，，则a=5或;则b=10或;……;不一而足。

通常，我们有（c为常数），则方程的根为c或，因此，方程通常称为倒根方程。

将此方程及其根加以推广，则有方程的根为c或。

三、原型拓廣——发散思维开疆拓土

将以上两个结论有意识地应用于解一些方程或方程组，对于增强学生的学习兴趣，开拓解题思路，培养思维的灵活性等颇有好处。下面，笔者对倒根方程的应用进行推广，主要是想方设法构造出倒根方程。

1.解型的方程。

例1：解关于x的方程（提示：方程的两边同时减去1）

2.解型方程

例2：解方程（把8拆分为或者）

3.解型方程

例3：解方程（提示：方程两边同时除以，然后方程两边同时加上2，把2看作1+1）

4.解、、、等类型方程组。主要方法也是想方设法构造倒根方程。

以上，我们看到了数学的一个小小的结论是极富推广性的。而这个小小的结论是可以直觉得出结果的。因此，直觉思维常常是一个引子，是一个思维展开的突破口。当然，其应用又与巧妙的构造分不开。通过此题的思维发散，拓广演变，学生不仅欣赏到了数学的精巧，而且体会到了直觉思维和发散思维结合的价值，使其在思维领域内不断开疆拓土，体现其丰富的拓展性。为今后，特别是高中数学的学习奠定了良好的基础。当然由于考虑问题的角度不同，思考的方向不一，每道题都有很多不同的解法。反过来，每一个简单的原理与结论也可以运用于很多种情况中。“运用之妙，在乎其人”。我们一定要努力开拓思路，捕捉灵感，在直觉思维的引导下有所发现，在发散思维的过程中培养数学学科的核心素养，使学生的数学能力达到一个新的境界。

参考文献

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[2] 陈利全.分式方程首课时教学如何设计[J].课程教育研究，2016（06）：161-162.

[3] 刘斌.一道分式方程的多种解法[J].中学数学，1997（03）：37-38.