通解巧解解几何试题培养学生解题能力

陈新华

学数学离不开解题，解题能力强的学生在高考中占有绝对优势。因此作为一线的教师如何在课堂教学中培养学生解题能力是当今教学的重中之重。数学中的通解是解题的基本方法，由一道题的解法拓展到一类题型的解法这种体现一般规律的基本方法是解题中常用的方法。利用通解解题是我们平时解题教学的主要方法，也是进行解题能力培养的好手段。而数学中的巧解是通解的更进一步提升，它需要具体问题具体分析，需要有较强的观察能力以及应变能力更需要通盘各知识间的联系，它更是训练学生灵活解题的好渠道。

圆锥曲线试题历年是高考的热点，这类试题特点是知识点多、性质多，要记的结论多，又易混淆，求解中不仅涉及到解析几何还涉及到平面几何，平面向量、函数、导数等。因此充分利用圆锥曲线试题的这一特点从不同的解法、知识之间的联系进行归纳、比较可以使学生的解题能力有一个质的飞跃。本文借助圆锥曲线试题，探讨用通解、巧解这两类不同的解法解圆锥曲线试题从中达到有效培养学生的解题能力。下面通过具体例子做进一步阐述。

1.典型案例解析

典型案例已知点M（-1，1）和抛物线C：y2=4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点.若∠AMB=90°，则k=________.

解法1（通解）由抛物线C：y2=4x得焦点（1，0），由题意可知：直线的斜率k≠0

设AB所在直线方程为x=my+1，其中

联立得：

解法2（巧解）：设取AB中点，分别过点A，B作准线x=-1的垂线，垂足分别为，

则MM'就是直角梯形的中位线，因为M（-1，1）所以y0=1，则y1+y2=2

所以

评析解法1：一涉及到直线与圆锥曲线中重要思想方法即设而不求法，二涉及到在解析几何中直角的一般使用方法即用平面向量的数量积等于0表示出来，这种解法可以很好地训练学生解题的基本功。解法2此方法很巧妙，一它借助于抛物线的定义以直代斜、二平几中直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三直线与圆锥曲线中第二种重要的思想方法点差法。此方法特点是计算量较少，但思维量较大。而使用此方法的关键是发现题目中的点M（-1，1）恰巧在抛物线的准线上而直线又过焦点，同时对直角又能联想到平几的知识。

2.强化应用

强化案例设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得（O为坐标原点），则该双曲线的离心率为（）

A. B. C. D.

解法（通解）设∵O是的中点

评析求双曲线的离心率关键是a，b，c中等量关系的探求，此题中|OP|=3b的表示是解题的突破口。解法1借助向量的性质，解法2利用双曲线焦点三角形的面积公式。这两种方法都从各自不同角度将数形结合法与解析法结合起来，各有千秋是训练学生解题能力的好题目。

3.结束语

实践表明，教師如果在讲解圆锥曲线试题中能把圆锥曲线中出现的通解、巧解进行深一步的剖析、挖掘、归纳不仅培养了学生解圆锥曲线试题的兴趣，而且也培养了学生的解题能力。

参考文献

[1]甘娜，中学数学解题中的通解与巧解探析，数学教学通讯，2012年（3）：1

[2]邵琼，圆锥曲线的离心率微专题突破，福建中学数学，2018年（1）：38-41

[3]李金聪，核心素养视角下离心率试题的命制与评价，福建中学数学，2018年（1）：1-3